2024年2月6日发(作者：福特江铃全顺)

2024年“极光杯”线上测试（一）数注意事项：学1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．cos(?60?)?A．12B．32C．?12D．?322．设集合A?{2,3,4,5,6}，B?{1,a?2,2a?1}，若A?B?{x?N?|x?7}，则A?B?A．{2,3}B．{3,4}C．{4,5}D．{5,6}3．若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是111111B．(?,)C．(0,)D．(?,)A．(0,)1010105554．设平面向量a，b满足|a|?2，|b|?3，|a?b|?4，则cos?a,b??1111D．?A．B．C．?34345．对于各数位均不为0的三位数abc，若两位数ab和bc均为完全平方数，则称abc具有“S性质”，则具有“S性质”的三位数的个数为A．2B．3C．4D．56．设a?log20.7，b?log30.6，c?log0.30.2，则A．a?b?cB．b?a?cC．c?a?bD．c?b?a7．在二面角??l??中，点A??，B??，C，D?l，AB?l，且AB与半平面?，?所成的角相等，则“AC?BD”是“?ACD??BDC”的A．充要条件C．必要不充分条件B．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件第1页（共4页）

8．已知凸四边形ABCD内接于圆O，?ABD?2?CBD，值为AD26BD，则的最大?ACCD3A．62B．233C．425D．335二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．设双曲线C:x2?3y2?1，则A．C的实轴长为2B．C的焦距为4D．C的渐近线方程为x?3y?0C．C的离心率为2210．设函数f(x)?x??3lnx，记f(x)的极小值点为x1，极大值点为x2，则xA．x1?x2?3C．f(x1)?f(x2)??3ln2B．x1?x2D．f(x1)?f(x2)11．已知随机变量X服从正态分布N(?,?2)，P(2?X?3)?P(3?X?4)．记X的密度函数为f(x)，h?0，则12P(3?X?3?h)C．?f(3)hA．P(X?3)?B．P(X2?9)?12P(3?h?X?3)D．?f(3)h12．已知实数x，y满足|x?y|?|x|?|y|?2，则A．?1≤x?y≤1B．?2≤x?y≤2C．1≤x2?y2≤2D．?1≤x3?y3≤1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设z?(2?i)2?(1?2i)2，则|z?8i|?．14．若某圆锥的侧面积为底面积的5倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为．x2y215．设O为坐标原点，椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别为A1，A2，点P为ab1椭圆上一点，直线PA1的斜率为，PO的斜率为2，则PA2的斜率为．316．在(1?ax)8的展开式中，若x3的系数为?56，则a?；若展开式中有且仅有x4项的系数最大，则a的取值范围是．第2页（共4页）

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知直线x?对称轴．?2?和x?是函数f(x)?sin(?x??)(??0,0????)图像两条相邻的63（1）求f(x)的解析式和单调区间；1（2）保持f(x)图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的(a?0)倍，得到函a数y?g(x)的图像．若g(x)在区间(0,?)恰有两个极值点，求a的取值范围．18．（12分）为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为X和Y．在治疗过程中，用指标I衡量患者是否受益：若???≤I≤???，则认为指标I正常；若I????，则认为指标I偏高；若I????，则认为指标I偏低．若治疗后患者的指标I正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6．（1）求E(Y)和D(Y)；（2）统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第i位的患者治疗后指标I的值为xi，i?1，2，…，50，定义函数：?1,?f(xi)??0,??1,?xi???????≤xi≤???．xi????（i）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由．①A?|f(x1)|?|f(x2)|???|f(x50)|；②B?f(x1)[f(x1)?1]?f(x2)[f(x2)?1]???f(x50)[f(x50)?1]；2（ii）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（i）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策．第3页（共4页）

19．（12分）如图，五面体AB?CDEF的底面CDEF是矩形，AB∥底面CDEF，AB到底面CDEF的距离为1，AC?CF?FA?AB?BD?DE?EB?2．（1）证明：平面ABCD?平面ABEF；（2）设平面ACF?平面BDE?l．（i）证明：l∥底面CDEF；（ii）求l到底面CDEF的距离．20．（12分）已知等比数列{an}的公比q?1，a1，a2，a3?1成公差为d的等差数列．（1）求q?d的最小值；（2）当a11取最小值时，求集合A?{an|an?N?}中所有元素之和．21．（12分）设O为坐标原点，A为抛物线y2?4x上异于O的一点，B(?1,4)，C(?4,0)．（1）求|AB|的最小值；（2）求tan?ACB的取值范围；（3）证明：?ACB≥?ACO．22．（12分）设函数f(x)?x，g(x)?esinx?ecosx．xe（1）求曲线y?f(x)平行于直线y?x?2的切线；（2）讨论g(x)的单调性．第4页（共4页）

2024年“极光杯”线上测试（一）数学参考答案一、选择题1．A5．C2．C6．A3．D7．A4．B8．D二、选择题9．AD10．ACD11．BD12．ABD三、填空题13．1015．?1214．216．?1；(?101045,?)?(,)2554四、解答题17．解：（1）由题设条件知f(x)的最小正周期T?2???)??，所以??2．36?????又因为f()?sin(??)??1，0????，所以??，f(x)?sin(2x?)．6366?????令2k???2x??2k??，得f(x)的单调递增区间为[k??,k??](k?Z)，36262?2???3?，得f(x)的单调递减区间为[k??,k??](k?Z)．令2k???2x??2k??63262????（2）由题可知g(x)?sin(2ax?)，所以当x?(0,?)时，2ax??(,2a??)．6666??若g(x)在区间(0,?)恰有两个极值点，则y?sinx在区间(,2a??)恰有两个极值66?2(2?点，因此3??5?，?2a???26227解得a的取值范围是(,]．362024第1页（共4页）

18．解：（1）由题设知Y服从二项分布B(50,0.6)，所以E(Y)?50?0.6?30，D(Y)?50?0.6?0.4?12．（2）（i）统计量A反映了未受益于新治疗方案的患者数，理由如下：若患者i受益于新治疗方案，则其指标I的值xi满足f(xi)?0，否则|f(xi)|?1，会被统计量A计入，且每位未受益于新治疗方案的患者恰使得统计量A的数值加1．统计量B反映了未受益于新治疗方案且指标I偏高的患者数量，理由如下：若患者i接受新治疗方案后指标I偏低或正常，则其指标I的值xi满足f(xi)[f(xi)?1]?0，f(xi)[f(xi)?1]?1，会被统计量B计入，且若指标I偏高，则f(xi)[f(xi)?1]?2，2每位未受益于新治疗方案且指标I偏高的患者恰使得统计量B的数值加1．（ii）由题设知新治疗方案优于标准治疗方案等价于一次试验中X的观测值大于Y的观测值．由（i）知Y的观测值y?50?A，因此，当50?A?30，即A?20时，认为新治疗方案优于标准治疗方案；当50?A?30，即A?20时，认为新治疗方案与标准治疗方案相当；当50?A?30，即A?20时，认为新治疗方案劣于标准治疗方案．19．解：（1）取CF中点M，DE中点N，连结AM，BN，MN．因为底面CDEF是矩形，AB//底面CDEF，平面ABCD?底面CDEF?CD，所以AB//CD//EF，而MN//CD，所以A，B，M，N共面．由题设知△ACF，△BDE都是正三角形，所以CF?AM，DE?BN．因为底面CDEF是矩形，所以CF//DE，则CF?BN，CF?平面ABMN．记A在MN，CD，EF上的射影分别为A1，A2，A3，则CF?AA3，且MN?AA3，所以AA1?1．而A1A2?A1A3?MC?MF?1，所以△AA2A3是以A为顶点的等腰直角三角形，AA2?AA3．又因为AA2?EF，所以AA2?CD，从而AA2?平面ABCD．而AA2?平面ABEF，所以平面ABCD?平面ABEF．2024第2页（共4页）

（2）（i）因为CF//DE，所以CF//平面BDE．由线面平行的性质可知，CF//l，其中l?平面ACF?平面BDE．而l?底面CDEF，所以l//底面CDEF．（ii）由（1）知A，B，M，N共面，所以AM和BN有交点，记为G．所以G?l，l到底面CDEF的距离等于G到底面CDEF的距离．因为AM?BN?3，所以四边形ABNM是等腰梯形，?AMN??BNM，AA12d因此，其中d为G到底面CDEF的距离．?MNMA1由几何关系可知MA1?MA2?AA12?2，MN?AB?2MA1?2?22，代入计算得d?1?2．220．解：（1）由题设知a1?a3?1?2a2，即a1(q?1)2?1；d?a2?a1?a1(q?1)?因此当q?1时，q?d?q?1?所以q?d的最小值为3．q5q10（2）a11?a1q?，令f(q)?，q?1．2q?1(q?1)101．q?111，即q?2时等号成立．?1?3，当q?1?q?1q?1q4(4q?5)555?，令得，在单调递减，在f(q)?0q?f(q)),??)单调f?(q)?(1,(0444(q?1)255递增，因此f(q)的最小值点是，a11?f2(q)取最小值时，q?．44此时a1?16，a2?20，a3?25．a3不是偶数，所以a4?A，an?A(n?5)．所以当a11取最小值时，A中所有元素之和为16?20?25?61．21．解：（1）设A(4t2,4t)，t?0，则|AB|2?(4t2?1)2?(4t?4)2?16t4?24t2?32t?17．设f(t)?16t4?24t2?32t?17，f?(t)?16(4t3?3t?2)?16(2t?1)(2t2?t?2)．11511因为2t2?t?2?2(t?)2??0，所以令f?(t)?0得t0?，f(t)在(??,)单调282411递减，在(,??)单调递增，故f(t)的最小值为f()?8，|AB|的最小值为22．222024第3页（共4页）

14|t|，tan?ACO?2?(0,]．32t?14?3tan?ACO．当t?0时，?ACB??OCB??ACO，所以tan?ACB?3?4tan?ACO41该式是关于tan?ACO的减函数，所以?tan?ACB?；324?3tan?ACO．当t?0时，?ACB??OCB??ACO，所以tan?ACB?3?4tan?ACO114该式是关于tan?ACO的增函数，所以?tan?ACB?；2341114综上，tan?ACB的取值范围是[,)?(,]．32231（3）由（2）知，tan?ACO??tan?ACB，且0??ACO?90?，2（2）由题可知tan?OCB?所以?ACO??ACB．22．解：（1）f?(x)?1?t1?x，则曲线在点处切线的斜率为．y?f(x)(t,f(t))letex1?t若l平行于直线y?x?2，则t?1，即et?t?1．e设?(t)?et?t，??(t)?et?1?0，所以?(t)在(??,??)单调递增．而?(0)?1，所以方程?(t)?1有唯一解t?0．故曲线y?f(x)平行于直线y?x?2的切线只有一条，即在(0,0)处的切线y?x．（2）因为g(x)?g(x?2?)，所以g(x)的一个周期是2?．cosxsinxg?(x)?esinxcosx?ecosxsinx?(cosx?sinx)esinx?cosx?esinx?cosx[f(cosx)?f(sinx)]，ee而esinx?cosx?0，因此g?(x)的正负与f(cosx)?f(sinx)的正负一致．由（1）知当x?1时，f?(x)?0，则f(x)单调递增，所以f(cosx)?f(sinx)等价于cosx?sinx，f(cosx)?f(sinx)等价于cosx?sinx．?3?由y?sinx和y?cosx的图像知，当x?(2k??,2k??)(k?Z)时，cosx?sinx；44?5?当x?(2k??,2k??)(k?Z)时，cosx?sinx．44??3?5?故g(x)在区间(2k??,2k??)(k?Z)单调递增，在(2k??,2k??)(k?Z)单4444调递减．2024第4页（共4页）

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