2024年3月11日发(作者：30万左右的车suv)
第五章习题
1. 华中某食品公司为市场提供四种口味的月饼，有豆沙、莲蓉、火腿、蛋黄，需要的
主要原料是：面粉、红豆、鸡蛋、糖、腿肉。由于市场需求量大，公司库存原料有限，无法
完成接收的订单，公司管理层希望在资源有限的条件下，使利润最大化，因此需要确定各种
口味月饼产量的最优组合。管理科学小组经调查得到每种口味月饼每箱利润、公司各种原料
库存量以及制作各种月饼对每种单位需求量如下表（表5-28）：
表5-28
消
耗
月
饼
量
豆沙
80
30
10
15
0
800
莲蓉
90
10
5
10
5
750
火腿
80
0
10
5
30
600
蛋黄
95
5
50
10
0
730
资源限制
20000
1200
3600
3000
2500
原 料
面粉
红豆
鸡蛋
糖
腿肉
单位利润（元/箱）
（1） 建立此问题的线性规划模型；
（2） 用Excel规划求解此线性规划问题，并生成灵敏度分析报告；
（3） 如果豆沙月饼单位利润增加到950元，其它参数不变，运用敏感性分析报告确
定最优解是否改变；
（4） 假设公司有机会以单价5元购得100单位的糖，公司是否应该购买这批糖，为
什么？
（5） 公司发现有200单位的腿肉已经变质，只能仍掉，最优解是否改变？总利润又
会有什么影响？
2. 考虑第二章的物流配送问题（第一章的例3），用Excel规划求解并生成灵敏度分析
报告，回答下列问题：
（1） 哪一个单位运输价格的估计值最不可能影响最优方案的正确性，哪一个值最可
能影响最优解；
（2） 每个单位运输价格的允许变化范围分别是多少？应该怎样向管理层解释单位运
输价格的允许变化范围？
（3） 如果有若干个运输价格同时变动，如何通灵敏度分析报告来确定最优解是否改
变？
3. 重新考虑第二章的成本效益问题（第一章的例2），饲料公司希望提高饲料的某种成
分的最低量，各种营养成分的最低需求量不低于20单位，管理层希望了解这样做会增加多
少成本？
（1） 运用Excel求解此问题，生成最优解表和敏感性分析表；
（2） 使用上面结论确定各种营养成分各增加一单位时所增加的成本。
4. 考虑第二章例5的营养配料问题，假设市场上又出现一种新的蔬菜——四季豆，其
VA、VB、VC的含量分别为3、2、9，市场价格
c
f
?4
，问原问题的最优方案是否有变化？
（1） 对原问题电子表格线性规划模型进行修订，求出新问题的最优解；
（2） 若四季豆的价格
c
f
在未来几天有变化，当
c
f
为何值时问题最优解不唯一？
5. 已知线性规划问题：
maxZ?3x
1
?
713
x
2
?x
3
22
1
x?x ?x
?
3
?24
?
2
12
s..t
?
x
1
?x
2
?4x
3
?60
?
?
x
i
?0 i?1,2,3
的最优单纯形表（表5-29）如下：
表5-29
C
B
3
13/2
X
B
x
1
x
3
-Z
x
1
1
0
0
x
2
3
-1/2
-9/2
x
3
0
1
0
x
4
4
-1
-11
x
5
-1
1/2
-1/2
b
36
6
-147
其中x
4
、x
5
分别表示第一、第二个约束的松弛变量。
（1） 要保持现有最优解不变，分别求x
1
、x
2
目标系数的变化范围；
（2） 当第二个约束右端项由60减少到50时，最优解如何变化？
6. 已知线性规划问题
maxZ?2x
1
?x
2
?3x
3
?
?
3x
1
?4x
2
?5x
3
?9
s..t
?
5x
1
?2x
2
?7x
3
?8
?
?
x
i
?0 i?1,2,3
的最优单纯形表（表5-30）如下：
表5-30
C
B
1
2
（1）
（2）
（3）
X
B
x
2
x
1
-Z
x
1
0
1
0
x
2
1
0
0
x
3
1/7
9/7
-5/7
x
4
5/14
-1/7
-5/14
x
5
-3/14
2/7
-25/14
b
3/2
1
-7/2
目标系数c
1
、c
2
、c
3
分别在什么范围内变动时最优解不变？
当c
1
、c
2
同时变为1.5时，最优解是否改变？
约束右端项b
1
、b
2
在什么范围时内变化时，最优基不变？
?
11
?
?
9
?
（4） 右端项由
??
变为
??
时，最优解有什么变化？
?
18
?
?
8
?
7. 已知线性规划问题
maxZ?2x
1
?3x
2
?x
3
?x
4
?2x
5
?
?
x
1
?2x
2
?x
3
?x
4
?3x
5
?6
s..t
?
?x
1
?2x
2
?2x
3
?2x
4
?x
5
?4
?
?
x
i
?0 i?1,2,3,4,5
对第一、第二约束分别引入松弛变量x
6
、x
7
，化为标准型后，用单纯形法求得的最优单
纯形表（表5-31）如下：
表5-31
C
B
2
0
X
B
x
1
x
7
-Z
?1
x
1
1
0
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
1
1
x
7
0
1
b
（1） 求
B
并完成以上单纯形表；
（2） 写出原问题与其对偶问题的最优解；
（3） 分析约束右端项
b
1
变为3时最优解的变化；
（4） 增加一个新的约束条件
?x
1
?2x
2
?x
3
?x
4
?1
最优解如何变化？
8. 某一资源分配问题的数学模型为：
maxZ?5x
1
?3x
2
?2x
3
?x
4
?
x
1
?x
2
?x
3
?2x
4
?100
?
10x?4x
2
?5x
3
?2x
4
?600
s..t
?
1
x ?x?3x
3
?3x
4
?150
?
x
1
?0
2
i?1,2,3,4
?
i
引入松弛变量x
5
、x
6
、x
7
，化为标准型后，求得的最优单纯形表（表5-32）如下：
表5-32
C
B
3
5
0
X
B
x
2
x
1
x
7
-Z
x
1
0
1
0
0
x
2
1
0
0
0
x
3
x
4
x
5
5/3
-2/3
-2
x
6
-1/6
1/6
0
x
7
0
0
1
0
b
（1） 完成以上单纯形表；
（2） 写出对偶问题与对偶最优解；
（3） 当x
3
的目标系数
c
3
变为何值时，除以上最优解外还有其它最优解，并求出这些
最优解；
（4） 要保持现有最优解不变，x
1
的目标系数可有多大的变动范围？
（5） 若增加约束
2x
1
?x
2
?x
3
?200
，最优解如何变化？
（6） 若第一种资源的市场价格为3，现有机会以这个价格获得10个单位的第一种资
源扩大生产规模，问决策层是否应该购买？
9. 某公司生产A、B、C、D四种产品，每种产品需要甲、乙、丙三道工序。公司管理
层希望能合理安排各种产品数量以获利最大，各产品在各工序中需要的工时、各工序的最大
供给工时和各产品的单位利润如下表（表5-33）：
表5-33
产
单
位
工
品
时
工序
甲
乙
丙
单位利润（元）
A
1
1.5
0.5
8
B
2
2
0.6
14
C
10
4
1
30
D
16
5
2
50
供给工时数
800
1000
340
用x
1
、x
2
、x
3
、x
4
分别表示A、B、C、D产品的生产量，建立线性规划模型并求得最优
单纯形表（表5-34）如下：
表5-34
C
B
X
B
x
2
x
1
x
7
-Z
x
1
0
1
0
0
x
2
1
0
0
0
x
3
11
-12
0.4
-28
x
4
19
-22
1.6
-40
x
5
15
-2
0.1
-5
x
6
-1
2
0.4
-2
x
7
0
0
1
0
b
200
400
20
-6000
（1） 产品C的单位利润增加多少时，才会生产产品C；
（2） 为使最优方案不变，产品B的单位利润最多能减少多少？
（3） 如果工序甲的最大供给工时数
b
1
有变化，若使管理层只生产A、B两种产品，
b
1
的变化范围是多少？
（4） 相邻的公司愿意以每工时4元的价格提供100个甲工序工时，管理层是否应该
接受？
10. 用单纯形法求解下列参数线性规划问题
(1)maxZ?(3?
?
)x
1
?(5?2
?
)x
2
?(4?
?
)x
3
?
x
1
?2x
2
?x
3
?6
?
x?2x
2
?2x
3
?3
s..t
?
1
2x
1
?2x
2
?x
3
?4
?
x
?
i
?0 i?1,2,3
(2)maxZ?3x
1
?4x
5
?2x
6
?
x
1
?2x
4
?x
5
?x
6
?8?
?
?
x
2
?x
4
?2x
5
?x
6
?2?
?
s..t
?
x
3
?x
4
?x
5
?2x
6
?3?2
?
?
x?0 i?1,2,3,4,5,6
?
i
(3)minZ?3x
1
?2x
2
?3x
3
?
2x
1
?x
2
?4x
3
?8?2
?
?
?x ?x
2
?x
3
?2?
?
s..t
?
1
x
1
?2x
2
?3x
3
?10?
?
?
x
?
i
?0 i?1,2,3
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