概率论与数理统计试卷一、是非题C

2023年11月24日发(作者：起亚k5现在优惠多少)

概率论与数理统计试卷

一、是非题（共7分，每题1分）

1．设,,为随机事件，则与是互不相容的.

ABA

C

A?B?C

2．是正态随机变量的分布函数，则.

F(x)F(?x)?1?F(x)

3．若随机变量与独立，它们取1与的概率均为，则.

X

Y?1X?Y

0.5

4．等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布.

5. 样本均值的平方的无偏估计.

X

2

不是总体期望平方

?

2

6．在给定的置信度下，被估参数的置信区间不一定惟一.

1?

?

7．在参数的假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设

H

1

而确定的.

二、选择题（15分，每题3分）

（1）设，则下面正确的等式是 。

B?A

（ａ）； （ｂ）；

P(AB)?1?P(A)P(B?A)?P(B)?P(A)

（ｃ）； （ｄ）

P(B|A)?P(B)

P(A|B)?P(A)

（2）离散型随机变量的概率分布为

X

P(X?k)?A

?

k

()的充要条件

k?1,2,?

是 。

（ａ）且； （ｂ）且；

?

??A

(1)

?

1

A?0A?1?0??1

?

?

（ｃ）且； （ｄ）且.

A??1

?

?

1

?

?1A?00??1

?

（3）设个电子管的寿命()，

10i?1~10

X

i

()独立同分布，且

i?1~10

DXA

()?

i

则个电子管的平均寿命的方差 .

10

Y

D(Y)?

（ａ）； （ｂ）； （ｃ）； （ｄ）.

A

0.1A0.2A10A

（4）设

(,,,)

XX?X

12n

为总体的一个样本，为样本均值，为

X~N(0,1)

X

S

2

样本方差，则有 。

（ａ）； （ｂ）；

X~N(0,1)nX~N(0,1)

（ｃ）； （ｄ）.

X/S~t(n?1)

(?1)/~(1,?1)

nXXFn

?

i1

22

i2

?

n

（5）设(已知)的一个样本，为样本均值，

(,,,)

XX?X

12n

为总体

N

(,)

??

2

?

X

则在总体方差的下列估计量中，为无偏估计量的是 。

?

2

A 卷 共 6 页 第 页

1

11

nn

2222

（ａ）； （ｂ）；

?

????

??

(XX)(XX)

i2i1

?

nn1

i1i1

??

?

11

nn

2222

（ｃ）； （ｄ）.

??

????

??

(X)(X)

i4i3

??

nn1

i1i1

??

?

三、填空题（18分，每题3分）

（1）设随机事件,互不相容，且，，则

AB

P(A)?0.3

P(B)?0.6

P(BA)?

.

（2）设随机变量服从（-2，２）上的均匀分布，则随机变量

X

Y?X

2

的概率密

度函数为 .

f(y)?

Y

（3）设随机变量

(,)~(0,2;1,3;0)

XYN

22

，则概率＝ .

P(2X?Y?1)

（4）设随机变量的联合分布律为

(X,Y)

(X,Y)

(1,0)(2,0)

(1,1)

(2,1)

P

0.40.2

a

b

若，则 .

E(XY)?0.8cov(X,Y)?

（5）设（

X,X,?,X

126

）是来自正态分布的样本，

N(0,1)

Y(X)(X)

??

??

ii

22

i1i4

??

36

当＝ 时， 服从分布，＝ .

c

cY

?

22

E()

?

（6）设某种清漆干燥时间（单位：小时），取的样本，得样

X~N(,)

??

2

n?9

本均值和方差分别为，则的置信度为95%的单侧置信区间

X?6,S?0.33

2

?

上限为： .

四、计算与应用题（54分，每题9分）

1. 某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、

2箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱. 现

从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩

的概率.

A 卷 共 6 页 第 页

2

2. 设随机变量的联合密度函数

(X,Y)

?

A0x2,yx

f(x,y)

?

?

?

0其他

???

XY

求 (1) 常数 ; (2) 条件密度函数; (3) 讨论与的相关性.

A

f(yx)

X

Y

3．设随机变量(均匀分布)，(指数分布)，且它们相互

X~U(0,1)Y~E(1)

独立，试求的密度函数.

Z?2X?Y

f(z)

Z

5．设总体的概率分布列为：

X

X

0 1 2 3

2 2

P

p

2 (1) 12

p-pp-p

其中() 是未知参数. 利用总体的如下样本值：

p

0?p?1/2

X

1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3

求 (1) 的矩估计值； (2) 的极大似然估计值 .

pp

1269C 1271C 1263C 1265C

0000

设数据服从正态分布，以 % 的水平作如下检验：

N(,)

??

2

?

?5

(1) 这些结果是否符合于公布的数字1260C？(2) 测定值的标准差是否不

0

超过2C？

0

须详细写出检验过程.

五、证明题（6分）

设随机变量与相互独立，且都服从参数为3的泊松(Poisson)分布，

X

Y

证明仍服从泊松分布，参数为6.

X?Y

附表：

A 卷 共 6 页 第 页

3

标准正态分布数值表 分布数值表 t分布数值表

?

2

2

t(3)?3.1824

0.025

?(0.4)?0.6554

?

0.05

(3)7.815

?

2

t(3)?2.3534

0.05

?(1.645)?0.950

?

0.025

(3)9.348

?

2

t(8)?1.8595

0.05

?(1.960)?0.975

?

0.05

(4)9.448

?

2

?(2.0)?0.9772

?

0.025

(4)11.143

?

t(8)?2.306

0.025

试卷二

附表： 标准正态分布数值表 分布数值表 t分布数值表

?

2

2

?(0.28)?0.6103

?

0.05

8(4)9.48

t(15)?2.1315

0.025

?

2

?(1.96)?0.975

?

0.95

1(4)0.71

t(15)?1.7531

0.05

?

2

?(2.0)?0.9772

?

0.05

1(5)11.07

t(16)?2.1199

0.025

?

2

?(2.5)?0.9938

?

0.95

(5)1.145

?

t(16)?1.7459

0.05

概率统计试卷A

()解析 2003.6.18

一.

是非题

是 是 非 非 是 是 是 . .

二.

选择题

（ｂ）（ａ）（ｂ）（ｄ）（ｃ）.

三.（18分，每题3分）[ 方括弧内为B卷答案 ]

填空题

?

1/(4y)0y4

?

0其他

??

1. 4/7 . 2.

f(y)

Y

?

?

3. 0.8446 . 4. 0.1 . 5. 1/3 ; 2 . 6. 上限为 6.356 .

四.

计算与应用题

1. 任取2箱都是民用口罩，

A

A 卷 共 6 页 第 页

4

B

k

丢失的一箱为k 分别表示民用口罩，医用口罩，消毒棉花.

k?1,2,3

2

1318

C

4

CC

55

22

P(A)P(B)P(AB)

????????

?

kk

222

210536

CCC

999

k1

?

3

2

1383

C

4

P(BA)P(B)P(AB)/P(A)/().

111

???PA???

2

236368

C

9

2. (1)

A?1/4.

(２)

f(x)f(x,y)dy

X

??

?

?

??

x

?

?

?

(1/4)dyx/20x2

???

?

?

x

?

0其他

?

当时，

0?x?2

f(yx)

YX

(３)

E(X)(x/2)dx4/3,

??

??

f(x,y)

?

1/(2x)xyx

?

f(x)

X

?

0其他

2x

0x

???

?

?

2

0

2

E(Y)dx(y/4)dy0,

??

??

2x

E(XY)xdx(y/4)dy0,

??

??

0x

s,(Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0coX

?

所以与不相关.

X

Y

?

ey0

?

y

?

10x1

??

3.

f(x)

X

?

?

f(y)

Y

?

?

?

0其他

?

0y0

fz?fxfx?zdx

ZXY

()()(2)

?

?

?

?

??

??

0x10x1

????

?

?

得z轴上的分界点０与２

??

??

2xz0xz/2

???

?

1

edxe(1e)/2z0

???

(z2x)z2

???

?

?

0

?

1

???

(z2x)z2

f(z)edx(1e)/20z2

Z

?????

?

?

z/2

?

0z2

?

?

4. 设

X

i

?

?

?

?

1i

?

0

第台彩电为次品且未被查出

其他

i?1~2?10

5

E(X)510

i

??

?

6

,

D(X)510(1510)

i

????

?6?6

A 卷 共 6 页 第 页

5

经检验后的次品数 ，

YX

?

210

?

5

i1

?

?

i

，，

E(Y)?1

DY???

()1510

?

6

由中心极限定理，近似地有

Y~N(1,1?5?10)

?6

??

31

?

P(Y3)1P(Y3)11(2)0.0228.

???????????

??

??

?

6

??

1510

??

5. (1)

XX

??16/8?2

?

i?

1

8

i

， 令 ，

E(X)?3?4p?X

?

?(3?X)/4?1/4p

. 得 的矩估计为

p

(2) 似然函数为

L(p)?P(X?x)?P(X?0)[P(X?1)]P(X?2)[P(X?3)]

?

i

24

i1

?

8

?4p(1?p)(1?2p)

24

lnL(p)?ln4?6lnp?2ln(1?p)?4ln(1?2p)

令

[lnL(p)]?

?

???0

628

，

?p?p??

121430

2

p1p12p

??

?p?(7?13)/12

. 由 ，故舍去

0?p?1/2

p?(7?13)/12

?

?(7?13)/12?0.2828.p

所以的极大似然估计值为

p

1

4

6. 由样本得 ，

X?1267

SXX

?(?)?40/3?3.65

i

2

.

?

3

i?

1

(1) 要检验的假设为 )

H:?1260,H:?1260

01

??

检验用的统计量 ，

T

?~t(n?1)

X

?

?

0

S/n

拒绝域为 .

T?t(n?1)?t(3)?3.1824

?

0.025

2

，落在拒绝域内，

T??3.836?3.1824

0

12671260

?

3.65/4

故拒绝原假设C.

H

0

，即不能认为结果符合公布的数字1260

0

(2) 要检验的假设为

H:?2,H:?2

01

??

A 卷 共 6 页 第 页

6

检验用的统计量 ，

??

?~(n?1)

22

(n1)S

?

2

?

2

0

拒绝域为

222

???

?(?1)?(3)?7.815

?

n

0.05

2

?

0

???

40/4107.815

,落在拒绝域内，

故拒绝原假设C.

H

0

，即不能认为测定值的标准差不超过2

五、(6分)

0

证明题

33

mn

??

33

由题设 ，，

P(Xm)P(Yn)

??e??e

n,m?0,1,2,?

m!n!

P(XYi)P(Xk,Yik)P(Xk)P(Yik)

??????????

??

k0k0

??

ii

ii

i!

331

kik

????

336kik

?

????

??

eee33

(ik)!i!k!(ik)!k!

??

k0k0

??

???e

e(33)

??

66i

16

i

，

i?0,1,2,?

i!i!

所以 仍服从泊松分布，参数为6.

X?Y

概率论与数理统计试卷

(A)

姓名： 班级： 学号： 得分：

一、判断题（10分，每题2分）

1. 在古典概型的随机试验中，当且仅当是不可能事件. （ ）

P(A)?0

A

2．连续型随机变量的密度函数与其分布函数相互唯一确定. （ ）

f(x)F(x)

3．若随机变量与独立，且都服从的 (0，1) 分布，则. （ ）

X

YX?Y

p?0.1

4．设为离散型随机变量, 且存在正数k使得，则的数学期望

XX

P(X?k)?0

E(X)

未必存在. （ ）

5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类

错误的概率不能同时减少. （ ）

A 卷 共 6 页 第 页

7

二、 选择题（15分，每题3分）

1. 设每次试验成功的概率为，重复进行试验直到第次才取得

p(0?p?1)r(1?r?n)

n

次成功的概率为 .

（ａ）； （ｂ）；

CppCpp

n1n

?

(1?)(1?)

（ｃ）.

Cp(1p)

n1

?

r1r1nr1

????

r1rnrrrnr

???

?

； （ｄ）

pp

rnr

(1?)

?

2. 离散随机变量的分布函数为，且

X

F(x)

xxxP(X?x)?

k?1kk?1k

??

，则 .

（ａ）； （ｂ）

Px?X?x

()

k1k

?

FxFx

()?()

k?1k?1

；

（ｃ）

PxXxF(x)F(x)

(??)?

k?1k?1kk?1

； （ｄ）.

3. 设随机变量服从指数分布，则随机变量的分布函数 .

X

Y?max(X,2003)

（ａ）是连续函数； （ｂ）恰好有一个间断点；

（ｃ）是阶梯函数； （ｄ）至少有两个间断点.

4. 设随机变量的方差相关系数则方差

(X,Y)D(X)?4,D(Y)?1,

?

XY

?0.6,

D(3X?2Y)?

.

（ａ）40； （ｂ）34； （ｃ）25.6； （ｄ）17.6 .

5. 设

(,,,)

XX?X

12n

为总体的一个样本，为样本均值，则下列结论中正确

N(1,2)

2

X

的是 .

1

n

（ａ）； （ｂ）；

~()(?1)~(,1)

tnXFn

?

i

2

4

i1

?

2/n

X?1

1

n

（ｃ）； （ｄ）.

~(0,1)(?1)~()

NXn

?

i

22

?

4

i1

?

2/n

X?1

三、填空题（28分，每题4分）

1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才

取到正品的概率为 .

2. 设连续随机变量的密度函数为，则随机变量

f(x)

Y?3e

的概率密度函数为

X

A 卷 共 6 页 第 页

8

f(y)?

Y

.

3. 设为总体中抽取的样本(

X

X~N(3,4)

X,X,X,X

1234

)的均值, 则

P(?1?X?5)

＝ .

4. 设二维随机变量的联合密度函数为

(X,Y)

f(x,y)

?

?

则条件密度函数为

当 时

f(yx)?

YX

?

1,yx,0x1;

???

他0,其

?

.

5. 设, 则随机变量

X~t(m)

Y?X

2

服从的分布为 ( 需写出自由度 ) .

6. 设某种保险丝熔化时间（单位：秒），取的样本，得样本均值和

X~N(,)

??

2

n?16

方

差分别为，则的置信度为95%的单侧置信区间上限为 .

X?15,S?0.36

2

?

7. 设的分布律为

X

X

1 2 3

P

?

2

2(1?)

??

(1?)

?

2

已知一个样本值，则参数的极大似然估计值为 .

(x,x,x)?(1,2,1)

123

四、计算题（40分，每题8分）

1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是

0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05. 求在被检查后认为是合格品的产品确实是

合格品的概率.

2．设随机变量与相互独立，，分别服从参数为的指数分布，试求

XX

YY

????

,(?)

Z?3X?2Y

的密度函数

f(z)

Z

.

3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为的泊松分布.

?

?1

假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品

件数在50件到70件之间的概率.

A 卷 共 6 页 第 页

9

4．设总体，

X~N(,)

??

2

(,,,)

XX?X

12n

为总体的一个样本. 求常数 , 使

X

k

kXX

?

i

?

为的无偏估计量.

?

i1

?

n

5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力（单位：kg）.

X~N(,)

??

2

已知 kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均

?

?8

值 kg. 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570 kg ？ （）

x?575.2

?

?5%

（2）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布. 某日抽取5个样品，测

N(,0.048)

?

2

得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 .

问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用作假设检验.

?

?10%

五、证明题（7分）

设随机变量相互独立且服从同一贝努利分布. 试证明随机变量

X,Y,Z

B(1,p)

X?YZ

与相互独立.

概率统计试卷解析

一.

判断题

1. 是. 在几何概型中，命题“当且仅当是不可能事件” 是不成立的.

P(A)?0

A

2. 非. 改变密度函数在个别点上的函数值，不会改变分布函数的取值.

f(x)F(x)

3. 非. 由题设条件可得出，根本不能推出.

P(X?Y)?0.82

X?Y

4. 非. 由题设条件可可以证明

?

xp

k?1

?

kk

绝对收敛，即必存在.

E(X)

5.

是. 由关系式

z?z?n/

??

??

(等式右端为定值) 可予以证明.

二.

选择题

1.

（ａ） 2.（ｄ） 3.（ｂ） 4.（ｃ） 5.（ｄ）.

三.

填空题

?

1

y

f[ln(y/3)])y0

1. 19/396 . 2 . . 3. 0.9772 .

f(y)

Y

?

?

0y0

?

?

?

A 卷 共 6 页 第 页

10

4. 当时 5. ].

0?x?1

f(yx)

YX

?

1/(2x)xyx

?

?

?

0其他

???

F(1,m)

6. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 .

四.

计算题

1. 被查后认为是合格品的事件， 抽查的产品为合格品的事件.

AB

P(A)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB)?0.96?0.98?0.04?0.05?0.9428

，

P(BA)?P(B)P(AB)/P(A)?0.9408/0.9428?0.998.

?

??

ex0,y0

??

(xy)

??

2. 解一

f(x,y)

?

?

0其他

?

??

时，，从而 ；时，

z?0z?0

F(z)?0f(z)?0

ZZ

F(z)P(3X2Yz)f(x,y)dxdyedxedy

Z

?????

3x2yz

??

????

z/3(z3x)/2

00

??

??

??

xy

?

?

23

??

?

?

z

?

2

z

???

1ee

3

3232

????

??

所以

?

??

(ee),z0

??

??

z/3z/2

??

?

f(z)

Z

?

?

32

??

?

?

z00,

?

?

?

?

ex0

?

?

x

解二

f(x)

X

?

?

?

0其他

?

?

ey0

?

?

y

?

f(y)

Y

?

?

?

0其他

?

z?0

时，

f(z)?0

Z

；

z?0

时，

fz?fxfz?xdx

ZXY

()()[(3)/2]

1

2

?

?

??

??

z/3

0

???

所以

1

2

??

edx(ee)

?????

????

x[(zx)/2]z/3z/2

??

32

??

?

?

??

(ee),z0

??

??

z/3z/2

??

?

f(z)

Z

?

?

32

??

?

?

z00,

?

?

A 卷 共 6 页 第 页

11

解三 设

??

1/32/3Z3X2YX(Z2W)/3

?????

1

??

?J??

01WYYW

3

??

??

2wz

1z2w

??

??

?

3

w

??

?

随机变量的联合密度为

(Z,W)

g(z,w)f,wJe

??

??

??

33

??

所以

f(z)g(z,w)dwedw

Z

??

??

??

??

1

3

z/2

0

??

2wz

??

??

?

3

w

???

??

(ee)z0

??

??

z/3z/2

32

??

?

.

3. 设

XX

ii

为第i周的销售量, ， 则一年的销售量为

i?1,2,?,52

~P(1)

YX

?

?

i

，, .

E(Y)?52

D(Y)?52

i1

?

52

由独立同分布的中心极限定理，所求概率为

??????

P(50Y70)P?1

?????????

??????

??

2Y5218182

??????

5252525252

??????

??(2.50)??(0.28)?1?0.9938?0.6103?1?0.6041

.

4. 注意到

X,X,,X

12n

?

的相互独立性

A 卷 共 6 页 第 页

12

X?X??X?X??(n?1)X???X

i12in

1

??

n

E(XX)0,D(XX)

ii

????

n1

?

2

?

n

??

n1

?

2

XX~N0,

i

?

??

?

n

??

E(|XX|)|z|edz

i

??

?

??

??

1

n1

?

2

??

n

?

z

2

n1

?

2

2

?

n

?

z

2

n1

?

2

2

?

n

?

2zedz

?

??

0

1

n1

?

2

??

n

?

2n?1

?

2

?

n

????

nn

?

kn

2

?

n

?

令

Ek|XX|kE|XX|

????

??

ii

???

2n?1

?

?

????

i1i1

??

k

?

5. (1) 要检验的假设为

H:?570,H:?570

01

??

检验用的统计量 ，

UN

?~(0,1)

?

2n(n?1)

X

?

?

0

?

/n

拒绝域为 .

U?z(n?1)?z?1.96

?

0.025

2

，落在拒绝域内，

U??0.6510?2.06?1.96

0

575.2570

?

8/10

故拒绝原假设

H

0

，即不能认为平均折断力为570 kg .

(2) 要检验的假设为

H:?0.048,H:?0.048

01

??

2222

?

X)(X

2

~(?1)?

??

22

n

， 检验用的统计量

?

i1

?

5

i

2

?

0

拒绝域为

222

???

?(?1)?(4)?9.488

?

n

0.05

或

A 卷 共 6 页 第 页

13

???

222

?(?1)?(4)?0.711

1

?

?

n

0.95

2

2

x?1.41

，

?

0

, 落在拒绝域内，

???

0.0362/0.002315.7399.488

故拒绝原假设

H

0

，即认为该天的纤度的总体方差不正常 .

五、

证明题

证一 由题设知

X

0 1 2

0 1

X?Y

PP

qp

q

22

2pq

p

PX?Y?Z??q?PX?Y?PZ?

(0,0)(0)(0)

3

；

PX?Y?Z??pq?PX?Y?PZ?

(0,1)(0)(1)

2

；

；

P(X?Y?1,Z?0)?2pq?P(X?Y?1)P(Z?0)

2

；

P(X?Y?1,Z?1)?2pq?P(X?Y?1)P(Z?1)

2

；

P(X?Y?2,Z?0)?pq?P(X?Y?2)P(Z?0)

2

.

P(X?Y?2,Z?1)?p?P(X?Y?2)P(Z?1)

3

所以 与相互独立.

X?YZ

证二 由题设可得与的联合分布

X?Y

Z

X?Y

Z

0 1 2

pq

2

0

q2pq

32

1

2

pq

2

2pq

p

3

联合概率矩阵中任两行或两列元素对应成比例，故概率矩阵的秩等于1，所以 与

X?Y

Z

相互独立.

概率论与数理统计试卷

(A)

A 卷 共 6 页 第 页

14

姓名： 班级： 学号： 得分：

一. 是非题（共7分，每题1分）

1．设、是随机事件，，则与相互独立. （ ）

ABAB

P(A)?0

2．是正态随机变量的分布函数，则. （ ）

F(x)F(?x)?1?F(x)

3．二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布. （ ）

4. 与相互独立且都服从指数分布，则. （ ）

X

Y

E()

?

X?Y~E(2)

?

5. 是与相互独立的必要而非充分的条件. （ ）

E(XY)?E(X)E(Y)

X

Y

6. 样本均值的平方的无偏估计. （ ）

X

2

是总体期望平方

?

2

7．在假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设

H

1

而确定的. （ ）

二. 选择题（15分，每题3分）

1. 设随机变量，对给定的，数

X~N(0,1)(0??1)

??

z

?

满足

P(X?z)?

?

?

. 若，则 .

P(X?c)?

?

c?

(A)

zz

?

； ； ；

(B)(C)(D)

2

z

1

?

?

2

1?

?

2

z

1?

?

.

2. 设随机变量相互独立，,，则 .

X,YY~N(1,1)

X~N(0,1)

(A)

P(X?Y?0)?1/2P(X?Y?1)?1/2

； ；

(B)

(C)(D)

P(X?Y?0)?1/2P(X?Y?1)?1/2

； .

1

n

3. 设随机变量.令，

X,X,,X

12n

?

独立同分布，且方差为

?

?

0

YX

?

?

i

n

i1

?

2

则 .

(A)

Cov(X,Y)/n

1

?

?

；

(B)

22

22

Cov(X,Y)?

1

?

；

(C)

D(XY)(n2)/n

11

???D(X?Y)?(n?1)/n

?

； .

(D)

?

4. 设

X,X,?,X

12n

是来自正态总体的一个简单随机样本，分别为样本均

N(,1)

?

X,S

值与样本方差，则 .

2

(A)(B)

；

X~N(0,1)

?

(XX)~(n1)

i1

?

n

i

??

22

?

；

A 卷 共 6 页 第 页

15

(C)

?

(X)~(n1)

i

??

??

22

；.

(D)

i1

?

n

X

S/n1

?

~(?1)

tn

5. 在

H

0

为原假设，为备择假设的假设检验中，若显著性水平为，则 .

H

1

?

(A)P(H|H);(B)P(H|H);

接受成立?接受成立?

0011

??

(C)P(H|H);(D)P(H|H).

接受成立?接受成立?

1001

??

三. 填空题（18分，每题3分）

1. 设为两随机事件，已知，则

A,B

P(A)?0.7?0.3?P(B),P(A?B)?0.8

P(A|A?B)?

.

2. 设随机变量，则

X~B(3,0.1)

Y

?2?1

X

的数学期望为 .

3. 随机变量相互独立且服从同一分布，，，

X,Y

P(X?k)?P(Y?k)?(k?1)/3k?0,1

则.

P(X?Y)?

. 4. 随机变量，已知，则

(X,Y)~N(0,1;0,4;)D(2X?Y)?1

?

?

?

5. 设总体，

X~N(,)

??

22

.

??

,

为未知参数，则的置信度为的置信区间为

?

1－

?

(XXX)

234

??

2

6. 设

X,X,X,X

1234

是来自正态总体的一个简单随机样本，

N(0,9)

?

?

3X

1

2

服从分布（须写出自由度）.

四. 计算题 （54分，每题9分）

1. 甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别为

（1）求恰有两位同学不及格的概率； ，

0.4,0.3,0.5

（2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的概率.

?

6x,0xy1

???

2. 设二维随机变量的联合密度函数

(X,Y)

f(x,y)

?

?

， 求

0,其他

?

（1）的边缘密度函数； （2）当时，的条件密度函数 ；

X,Y

X?1/3

Y

f(yx?1/3)

YX

A 卷 共 6 页 第 页

16

（3）.

P(X?Y?1)

?

2e,x0,y0

??

2xy

??

3. 设二维随机变量的联合密度函数,

(X,Y)

f(x,y)

?

?

其他

?

0,

求 的密度函数.

Z?max{X,Y}

4 某厂生产某产品1000件，其价格为元/件，其使用寿命（单位：天）的

P?2000

X

??

(x365)

1

?

ex365

20000

?

20000

f(x)

?

?

?

?

0x365

1

?

?

分布密度为

现由某保险公司为其质量进行保险：厂方向保险公司交保费

P

0

元/件，若每件产品若寿命小

于1095天（3年），则由保险公司按原价赔偿2000元/件. 试由中心极限定理计算

(1) 若保费

P?100

0

元/件, 保险公司亏本的概率？

(2) 试确定保费

P

0

，使保险公司亏本的概率不超过.

1%

(e0.96,(1.45)0.926,(1.61)0.946,(2.33)0.99)

?

0.0365

???????

）

5. 已知随机变量的密度函数为，

X

?

(1)(x5)5x6

?

????

?

f(x)(0)

??

?

?

0

其他

?

其中均为未知参数，求的矩估计量与极大似然估计量.

??

6. 机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋盐的标准重量为500克，

标准差不能超过10克. 某天开工后，为了检验机器是否正常工作，从已经包装好的食盐中

随机取9袋，测得

X?499,S?16.03

22

. 问这天自动包装机工作是否正常（）？

?

?0.05

2222

即检验（1）

H:?500,H:?500

01

??

； （2）.

H:?10,H:?10

01

??

22

??

??

t(8)2.306,t(9)2.262(8)17.535,(9)19.023

0.0250.0250.0250.025

????

??

??

22

??

??

t(8)1.8595,t(9)1.8331(8)15.507,(9)16.919

0.050.050.050.05

????

??

五. 证明题 （6分）

设事件

A、B、C

同时发生必导致事件发生，证明：.

D

P(A)?P(B)?P(C)?2?P(D)

A 卷 共 6 页 第 页

17

概率统计试卷A

()解析

一.

是非题

是 是 非 非 是 非 是 .

二.

选择题

C B A B C .

三.

填空题

1. ； 2.. 0.331 ；

0.5

3. 5 / 9 ； 4. 7 / 8 (或0.875) ；

5. ；

(Xt(n1),Xt(n1))

????

SS

??

nn

22

6..

F(1,1)

四.

计算题

1. 解: 设

A,A,A

123

分别表示 “甲不及格”、“乙不及格”、“丙不及格”三事件, 由题意

知

A,A,A

123

相互独立, 令表示“恰有2位不及格”, 则

A

A?AAA?AAA?AAA

123123123

（1）

P(A)?P(AAA)?P(AAA)?P(AAA)

123123123

?????????

0.40.30.50.40.70.50.60.30.5

?

0.29

（2）?

P(AAAAAA|A)

123123

?

P(AAA)P(AAA)

123123

?

P(A)

0.40.30.50.60.30.5

?????

?

0.29

15

?

29

A 卷 共 6 页 第 页

18

2. 解: (1) 当时 故

0?x?1

f(x)?6xdy?6x(1?x)

X

?

x

1

?

6x(1x)0x1

???

f(x)

X

?

?

?

0

当时， 故

0?y?1

f(y)?6xdx?3y

Y

其他

2

?

y

0

?

3y0y1

2

f(y)

Y

?

?

?

0

??

其他

1

f(,y)

1

13

3

(2) 当,

?y?1

时,

f(y|X)

Y

???

1

3

32

f()

X

3

?

31

1

?

故 .

f(y|X)

Y

??

?

23

3

?

?

0

(3) .

P(XY1)6xdxdy6x(12x)dx

??????

3. 解: 由题意知 相互独立 , 且

X,Y

??

y1

其他

1x1/21/2

?

x00

???

1

4

??

2ex0ey0

??

2xy

??

f(x)f(y)

XY

??

??

与 .

0x00y0

??

??

当时，

z?0

F(z)P{maXx(Y,z)P}Xz{Yz,

Z

?????

????

P{Xz}PY{z}Fz(F)z()

XY

f(z)f(z)F(z)F(z)f(z)2e(1e)(1e)ee2e3e

ZXYXY

?????????

???????

2zz2zzz2z3z

?

e2e3ez0

???

z2z3z

???

故

f(z)

Z

?

?

其他

?

0

??

(x365)

?

?

1e,x365

??

20000

4. 解：的分布函数 ，

X

F(x)

?

?

?

x3650,

?

?

1

于是

P(X1095)1e040.

????

记

?

0.0365

N\"10001095

?件产品中寿命小于的产品件数

Y\"\"

?保险公司的利润

则，，

N~B(1000,0.04)

Y?1000?P?2000N

0

由中心极限定理，

NN

~(40,6.2)

，

A 卷 共 6 页 第 页

19

2

于是

（1） 若保费

P?100

元/件，则

\"保险公司亏本\"?{Y?0}?{N?50}

0

P{}P{Y0}P{N50}P{}1(1.61)0.054

保险公司亏本??????????

N4010

?

6.26.2

（2）若保费为

P

Y?0}?{N?0.5P}\"保险公司亏本\"?{

0

，则

0

P{}P{N0.5P}P{}1()0.01

保险公司亏本????????

0

0.5P400.5P40

00

??

N40

?

6.26.26.2

故

????

()0.992.33

0.5P0.5P4040

00

??

6.26.2

?（元）?????

P2(406.22.33)108.89

0

5. 解:

EXx(1)(x5)dxxd(x5)6(x5)dx6

??????????

???

?

???

??

11

555

666

1

?

?

2

?

??

故 的矩估计量为

?

?

似然函数,

L()f(x;)(1)(x5)

???

????

故

nn

1

2

6X

?

n

ii

??

?

i1i1

??

lnL()nln(1)ln(x5)

???

????

?

i

i1

?

n

dlnL()n

?

????

?

ln(x5)0

i

d1

??

?

i1

?

n

?

??的极大似然估计量为?

??

n

?

ln(X5)

i1

?

5

1

i

?

6. 解: (1)

H:?500H:?500

01

??

.

若.

H

0

成立, 统计量

T~t(8)

?

X500

?

S/3

X500

?

|A}D{|

??

， 由备择假设知，拒绝域的形式为

S/3

由

P{T?D|H}?P{|T|?A|H}?A?t(8)?2.306

000.025

?

知.

A 卷 共 6 页 第 页

20

故拒绝域为 .

D?{|T?|62.30

代入数据得的观察值

T

T????0.187

0

3

， 因，故接受.

T?DH

00

16.03

（2）

H:?100,H:?100

01

??

22

.

8S

2

由备择假设

H

1

知，拒绝域的形式为.

D?{?A}

100

8S8S8S

222

22

在。由知，

H:?100

0

?

成立的情况下，

P{A}P{A}~(8)

????

22

??

100

?

?

2

取.

A?(8)?15.507

?

2

0.05

8S8S

22

2

????

15.507}P{(8)}0.05P{

2

?

0.05

，则

100

?

8S

2

故拒绝域为

D?{7}?15.50

.

100

816.03

?

2

??

20.56D

，故应拒绝代入数据得

H

0

.

100

五.（6分） 证明：由题设条件知,

ABC?D?P(ABC)?P(D)

P(A)P(B)P(AB)1

???

????

P(A)P(B)1P(AB)

??????

P(A)P(B)P(C)1P(AB)P(C)

???

1P(ABC)P(ABC)

?

??

2P(ABC)

??

2P(D)

《概率》

论与数理统计试卷 (A)

姓名： 班级： 学号： 得分：

一．是非题（7分，每题1分）

1．设，则随机事件与任何随机事件一定相互独立. （ ）

P(A)?0

AB

2．连续随机变量的密度函数与其分布函数未必相互惟一确定. （ ）

X

f(x)F(x)

A 卷 共 6 页 第 页

21

3．若与都是标准正态随机变量，则. （ ）

X

Y

X?Y~N(0,2)

4. 设有分布律：

PX??n?

{(1)2/}1/2,

n1nn

?

(n?1,2,?)

，则的期望存在. （ ）

X

5. 设随机变量序列

XXX

12n

,,?,,?

相互独立，且均服从参数为的指数分布，

?

1

n

则依概率收敛于. （ ）

XX

?

?

i

?

n

i1

?

6. 区间估计的置信度的提高会降低区间估计的精确度. （ ）

1?

?

7．在假设检验中，显著性水平是指. （ ）

?

P(拒绝HH为假)?1?

00

?

二. 选择题（15分，每题3分）

1. 设连续随机变量的密度函数满足，是的分布函数，则

XX

f(x)?f(?x)

F(x)

P(X?2004)?

.

?12?F(2004)2F(200)4

； ；

(A)

(B)

(C)(D)

1?2F(2004)2[1?F(2004)]

； .

2. 设二维随机变量服从上的均匀分布，的区域由曲线

(X,Y)

GG

y?x

2

与所

y?x

围，则的联合概率密度函数为 .

(X,Y)

??

6,(x,y)G1/6,(x,y)G

??

； ；

(B)(A)

f(x,y)f(x,y)

??

??

0,其他0,其他

??

??

2,(x,y)G1/2,(x,y)G

??

； .

(D)(C)

f(x,y)f(x,y)

??

??

其他其他0,0,

??

3. 设，，则方差 .

(X,Y)~N(0,0.5;0,0.5;0)

Z?X?Y

D(Z)?

(A)(B)(C)(D)

； ； ； .

0

1

1?2/1?2/

??

4. 设总体，

X~B(1,p)

X,X,?,X

12n

是来自总体的样本，为样本均值，则

X

P(X?k/n)?

.

(A)(B)

；

p

pp

knk

(1?)

?

；

；.

(C)(D)

CppCpp

nn

(1?)(1?)

kknkkknk

??

A 卷 共 6 页 第 页

22

5. 设总体，为未知参数，样本

X~N(,)

??

22

?

X,X,?,X

12n

的方差为，对假设

S

检验，水平为的拒绝域是 .

H:?2,H:?2

01

??

?

(A)

??

22

??

1/2

?

?

(n1)

； ；

(B)

??

22

?(?1)

1

?

?

n

(C)

??

2222

??()

1/21

??

?

(n)n

；.

(D)

??

?

三. 填空题（15分，每题3分）

1．已知,,, 则 .

P(A)?0.7P(B)?0.4

P(AB)?0.8

P(AA?B)?

2．设随机变量与相互独立，且都服从上的均匀分布，则的分布函

X

Y

[0,1]

Z?X?Y

?

?

数 .

F(z)

Z

?

?

?

_________________________

?

3. 设

EXEYDXDY

()?1,()?2,()?1,()?4,?0.6

数学期望 .

E(Z)?

4. 设随机变量，由切比雪夫不等式知，概率的取值区间

X~N(,)

??

2

P(X??2)

??

为 与 之间.

5. 设

X,X,?,X

12n

是来自总体分布的样本，是样本均值，则 ，

?

2

(n)E(X)?

X

?

XY

，设，则其

Z?(2X?Y?1)

2

D(X)?

.

四. 计算题 （57分，前三题每题9分，后三题每题10分）

1． 一盒乒乓球有6个新球，4个旧球。不放回抽取，每次任取一个，共取两次，

(1 ) 求：第二次才取到新球的概率;

(2 ) 发现其中之一是新球，求：另一个也是新球的概率.

2． “新天地”某酒吧柜台前有吧凳7张，此时全空着，若有2陌生人进来随机入座，

（1） 求：这2人就座相隔凳子数的分布律和期望；

（2） 若服务员预言这2人之间至少相隔2张凳子，求：服务员预言为真的概率.

3．设随机变量在上随机地取值，服从均匀分布，当观察到时，

X

(0,a)(0?x?a)

X?x

A 卷 共 6 页 第 页

23

Y

在区间内任一子区间上取值的概率与子区间的长度成正比， 求：

(x,a)

(1 ) 的联合密度函数； (2 ) 的密度函数

(X,Y)

f(x,y)

Y

fy

Y

()

.

4． 学校东区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。 决定在某天中午，随机地

对用过午餐的同学进行抽样调查。设调查了n个同学，其中在东区食堂用过餐的学生数为X，

若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n

应取多大？（用中心极限定理）

1

?

?

x

5． 设总体

X~f(x)e

?

2

?

?

?0

,（? 未知）且为来自

x?(??,??)

(X,X,?,X)

12n

X

的一个样本，求： 的 (1 ) 矩估计量 ； (2 ) 极大似然估计量.

?

6． 自动包装机加工袋装食盐，每袋盐的净重，（

X~N(,)

??

??

,

2

未知）按规定每袋盐

的标准重量为500克，标准差不能超过10克. 一天，为检查机器的工作情况，随机地抽

取6袋，测得样本均值克，样本均方差克.

x?495.3s?13.74

问：通过检验期望和方差来判断包装机该天的工作是否正常(?=0.05)？

?

?

2

2

五. 证明题 （6分）

设是不能同时发生但两两独立的随机事件，且，

A,B,C

P(A)?P(B)?P(C)?

?

证明可取的最大值为1/2.

?

附 正态分布、分布、分布数值表 ]

t

?

2

?(1.285)?0.9,?(1.645)?0.95,?(1.96)?0.975,?(2.33)?0.99

5)?t(2.57t06,?(6)2.t446?9,(5t)2.?0,150(6)1.9

0.0250.0250.050.05

2222

12.592,?(6)14.(5)?11.071,?(6)(5)12.83,?3

????

0.50205.00.050.025

概率统计试A卷解析

一.

是非题

是 是 非 非 非 是 非 .

二.

选择题

D A D C B

.

A 卷 共 6 页 第 页

24

三.

填空题

z00,

?

?

?

2

1. ； 2.

7/8

F(y)2zz,0z1

Y

????

?

?

1,z1

?

?

3. 4.2 ； 4. 0与0.25 之间 ； 5. ，2 .

四.

计算题

1．解： 设

A

i

={第i次取得新球}，i=1,2.

(1) 设C={第二次才取得新球}，有

C?AA

12

n

P(C)?P(AA)?P(A)P(A|A)???

12121

464

， []；

7/30

10915

(2) 设事件 D = {发现其中之一是新球}，E = {其中之一是新球，另一个也是新球}

)?P(EDP(AA)?P(A)P(A|?A)??

12121

651

1093

P(D)P(AA)P(AA)P(AA)

???

121212

1

???

P(A)P(A|A)P(A)P(A|A)

121121

3

1644613

??????

310910915

.

P(E|D)

???

P(ED)1/35

P(D)13/1513

解法二 设事件 {两个中至少有一个是新球}，{两个都是新球}，则，

B?A?A?B

22

C/C

610

P(AB)P(A)

1/3

?

5/13

. 所求条件概率

???

1122

?P(AB)?

8/151/3

?

P(B)P(B)

(CCC)/C

64610

?

2. 解： 分布律

X 0 1 2 3 4 5

P 6/21 5/21 4/21 3/21 4/21 5/21

12340

??

??

[ ]

??

1/34/151/52/151/15

??

期望 E (X) = 35/21 ? 1.67，

A 卷 共 6 页 第 页

25

P {X?2} = 10/21 ? 0.476.

?

3.解 , ,

X~ff(x)(yx)

??

11

a

,x(0,a)

?

?

,y(x,a)

?

X

??

??

YX

ax

?

??

?

0，其他

?

0，其他

?

1

f(x,y)f(x)f(yx)

??

?

)a(ax

,0xa,xya

????

X

YX

?

?

?

?

0，其他

?

1a

f(y)

?

?

?

aay

ln,y(0,a)

?

?

Y

?

?

0，其他

4．解 , , ,

X~B(n,p)E(X)?npD(X)?np(1?p)

P{|p|0.1}0.95

X

n

???

.

有中心极限定理

P{|p|0.1}P{}

X|Xnp|0.1n

n

????

?

np(1p)np(1p)

??

????

2()10.95

n

10p(1p)

?

???

()0.975

n

10p(1p)

?

???

n19.6p(1p)

2

记 , 令 , ,

g(p)?p(1?p)g(p)?1?2p?0p?1/2

?

19.6p(1?p)?19.6??96.04

22

1

4

故 n > [ 96.4 ]+1 = 97 人 .

|x|

5. 解： ，

E(X)xedx2

222

??

?

??

1

?

?

??

?

2

?

n

矩估计量 ；

?

?

?

1

2n

?

X

2

i

i1

?

?

?

?

1

n

极大似然估计量 .

n

?

|X|

i

i1

?

6．解： ，，,

x?495.3s?13.74

s?188.788

2

A 卷 共 6 页 第 页

26

g?1/4

max

（1）提出检验假设

H:?500;H:?500

01

??

?

?0.05,t5?2.5706,W?(??,?2.5706)?(2.5706,??)

0.025

??

|T|2.44950.8379W

0

?????

|x500||495.3500|

??

，[] 接受

0.4098?W

H

0

.

s

13.74

n

（2）提出检验假设

H:?100;H:?100

01

??

22

2

??

??

0.05,,(5)11.071

0.05

拒绝域为，

W?(11.071,??)

?

???9.439?

2

0

(n1)s5188.788

??

2

?

0

2

W

，接受

H

0

, 机器工作正常.

100

五

.证明题

（6分）

(AB?C)?(A?C)

??

P(AB?C)?P(A?C)

?

?

P(AB)?P(C)?P(ABC)?P(A)?P(C)?P(AC)

P(A)P(B)?P(C)?P(A)?P(C)?P(A)P(C)

即

????

222

??2?20

?

??

??

解此不等式得 ，所以可取的最大值为1/2.

?

?[0,1/2]

?

概率论试题（2004-2005学年第一学期）（含答案）

一．单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设事件A和B的概率为

P(A)?,P(B)?

12

则可能为（ D ）

P(AB)

23

(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6

2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不

相同的概率为（ D）

(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对

124

2

2525

511

; (B) ; (C) ; (D)以上都不对 (A)

1832

3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ A ）

A 卷 共 6 页 第 页

27

abe

?

x

4．某一随机变量的分布函数为，(a=0,b=1)则F(0)的值为（ C ）

Fx

()?

x

3e

?

(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对

5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸

得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ C ）

(A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对

二．填空题（每小题3分，共15分）

1．设A、B是相互独立的随机事件，P(A)=0.5, P(B)=0.7, 则=_0.85_.

P(A?B)

2．设随机变量，则n=______.

???

~B(n,p), E()?3, D()?1.2

3．随机变量ξ的期望为，标准差为，则

E()?5()?2

???

E()

?

2

=_______.

4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未

射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________.

5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为，a为常数，则P(ξ≥

f(x)

?

0)=_______.

三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率

(1) 4个球全在一个盒子里;

(2) 恰有一个盒子有2个球.

四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为

a

2

x2x2

??

?

A

, 0x3

当≤≤

?

f(x)

?

?

1x

?

?

?

0, x<0x>3

当或

(1) 求常数A; (2) 求P(ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望.

五．(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是

η＝1 η=2 η＝4 η＝5

ξ＝0 0.05 0.12 0.15 0.07

ξ＝1 0.03 0.10 0.08 0.11

ξ＝2 0.07 0.01 0.11 0.10

(1) ξ与η是否相互独立? (2) 求的分布及；

??

?E(?)

??

六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1

盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高

的1盒的概率是多少？

七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10

A 卷 共 6 页 第 页

28

元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他

要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.

八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的

概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？

(注：,)

?(1.28)?0.90?(1.65)?0.95

九．(本题6分)设事件ABC相互独立，试证明与C相互独立.

、、

A?B

某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄

的样本均值为________.

十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：

1820，1834，1831，1816，1824

假定重复测量所得温度

???

~N(,)

2

.估计，求总体温度真值μ的0.95的置信区间.

?

?10

(注：,)

?(1.96)?0.975?(1.65)?0.95

解：-------------------2分

?

??????

1

(18201834183118161824)1825

5

2

已知，---------------------------5分

1??0.95, ?0.05

??

uu1.96

?

??

0.025

?

?10

，n=5,

uu8.77

?

2

?

n55

???

0.025

101.9610

?

-------------------8分

所求真值μ的0.95的置信区间为[1816.23, 1833.77]（单位：℃）-------10分

解答与评分标准

一．1．（D）、2.（D）、3.（A）、4.（C）、5.（C）

二．1．0.85、2. n=5、3.

E()

?

2

=29、4. 0.94、5. 3/4

三．把4个球随机放入5个盒子中共有5=625种等可能结果--------------3分

4

（1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故

P(A)=5/625=1/125------------------------------------------------------5分

(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有

12

CC?

54

30

种方法----------------------------------------------------7分

4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法

因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故

P(B)??

36072

--------------------------------------------------10分

625125

A 卷 共 6 页 第 页

29

?

3

四．解：（1）

A1

??

??

f(x)dxdxAln4,A

???

0

1xln4

?

---------------------3分

1

（2）

P(1)dxAln2

?

????

?

A1

0

1x2

?

-------------------------------6分

?

3

（3）

E()x)dxdxA[xln(1x)]xf(

?

?????

??

Ax

3

0

??

0

1x

?

????

13

ln4ln4

(3ln4)1

------------------------------------10分

五．解：（1）ξ的边缘分布为

??

??

0 1 2

??

??

0.390.320.29

--------------------------------2分

η的边缘分布为

??

??

1 2 4 5

??

??

0.150.230.340.28

---------------------------4分

因,故ξ与η不相互独立-------5分

P(?0,?1)?0.05?P(?0)P(?1)

????

（2）的分布列为

??

?

??

?

0 1 2 4 5 8 10

P

0.39 0.03 0.17 0.09 0.11 0.11 0.10

因此，

E??????????

()00.3910.0320.1740.09

??

50.1180.11100.103.16

??????

另解：若ξ与η相互独立,则应有

P(ξ＝0,η＝1)＝P(ξ＝0)P(η＝1); P(ξ＝0,η＝2)＝P(ξ＝0)P(η＝2);

P(ξ＝1,η＝1)＝P(ξ＝1)P(η＝1); P(ξ＝1,η＝2)＝P(ξ＝1)P(η＝2);

因此，

P(0,1)P(0,2)P(0)

?????

?????

P(1,1)P(1,2)P(1)

?????

?????

??

但 ，故ξ与η不相互独立。

0.050.12

0.030.10

?

六．解：由全概率公式及Bayes公式

P(该种子能发芽)＝0.1×0.9+0.9×0.2＝0.27-----------------------------------5分

P(该种子来自发芽率高的一盒)＝(0.1×0.9)/0.27＝1/3---------------------10分

A 卷 共 6 页 第 页

30

-------10分

七．令A={在第k次射击时击中目标}，A={4次都未击中目标}。

k0

于是P(A)=0.3; P(A)=0.7×0.3=0.21; P(A)=0.7×0.3=0.147

123

2

34

P(A)= 0.7×0.3=0.1029; P(A)=0.7=0.2401-----------------------------------6分

40

在这5种情行下，他的收益ξ分别为90元，80元，70元，60元，－140元。

-------------------------------------------------------------------------------------------8分

因此，

E?????????

()0.3900.21800.147700.102960

?

0.2401(140)26.65

???

--------------------12分

八．解：设他至少应购买n个零件，则n≥2000，设该批零件中合格零件数ξ服从二项分布

B(n,p), p=0.95. 因n很大，故B(n,p)近似与N(np,npq) ------------4分

由条件有

P(2000)1()0.95

?

?????

2000np

?

-------------------------------------------8分

npq

200np

?

??

1.65

，解得n=2123, 因，故

npq

?(1.65)?0.95

即至少要购买2123个零件. -------------------------------------------------------------12分

九．证：因A、B、C相互独立，故P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(AB)=P(A)P(B), P(ABC)=P(A)

P(B)P(C).

P((A?B)C)?P(AC?BC)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

------2分

?P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)

---------------------------4分

?[P(A)?P(B)?P(A)P(B)]P(C)?P(A?B)P(C)

故与C相互独立. -------------------------------------------------------6分

A?B

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31