2023年12月5日发(作者：奔驰s400l新车报价2021款)

北京十一学校2020-2021学年高三综合练习数学试题（2021.05）

满分：150分钟 时间：120分钟 命题人：王继、李久权

第一部分（选择题 共40分）

一．选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设集合P?{3，log2a}，Q?{a，b}，若PA．{3，0} B．{3，0，1}

Q?{0}，则PQ?(

)

C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}

2．若|a|?|b|?1，(a?2b)?a，则向量a与b的夹角为(

)

A．30?

3．已知a?bi(a,b?R)是A．?1

B．60? C．120? D．150?

1?i的共轭复数，则a?b?(

)

1?i1B．?

2C．1

2D．1

4．直线x?ay?2?0与直线ax?y?2a2?0平行，则实数a的值为(

)

A．1或?1 B．0或?1 C．?1 D．1

5．甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示．

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；

②甲同学的平均分比乙同学高；

③甲同学成绩的极差是18；

④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．

上面说法正确的是(

)

A．③④ B．①④ C．②④ D．②③

6．我国古代科学家祖冲之之子祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”

( “幂”是截面积，“势”是几何体的高），意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为(

)

A．8??

B．8?2? C．12?2? D．12??

北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第1页（共21页） 7．已知函数f(x)的图象沿x轴向左平移2个单位后与函数y?2x的图象关于x轴对称，若f(x0)??1，则x0?(

)

A．?2 B．2 C．?log23 D．log23

8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7?S8，S8?S9?S10，则下面结论错误的是(

)

A．a9?0

C．d?0

B．S15?S14

D．S8与S9均为Sn的最小值

9．在?ABC中，“sinA?cosB”是“?ABC为锐角三角形”的(

)

A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

?2x2,x0f(x)?110．已知函数f(x)??，若存在唯一的整数x，使得?0成立，则满足条件的整数a的个数x?a??3|x?1|?3,x?0为（ ）．

A．2

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

B．3 C．4 D．无数

y2?x2?111．双曲线4的渐近线方程是____________.

12. 设(2x?1)5?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5，则a1?____________.

13．已知f(x)?sin(x??)?3cos(x??)是偶函数，且??[0,?]，则??____________.

14．若命题p:?x?R，x2?2ax?a0是假命题，则实数a的一个值为____________.

15．向量集合S??a|a?(x,y),x,y?R?，对于任意?，??S，以及任意??(0,1)，都有???(1??)??S，则称S为“C类集”，现有四个命题：

①若S为“C类集”，则集合M??3a|a?S也是“C类集”；

?②若S，T都是“C类集”，则集合M?a?b|a?S,b?T也是“C类集”；

③若A1，A2都是“C类集”，则A1；

A2也是“C类集”．

A2也是“C类集”??④若A1，A2都是“C类集”，且交集非空，则A1

北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第2页（共21页） 其中正确的命题有____________（填所有正确命题的序号）．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16．（本小题共14分）

在锐角?ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且bsinA?（1）求B的大小；

（2）若AB?2，BC?3，点D在边AC上，______，求BD的长．

23a．

2请在①AD?DC；②?DBC??DBA；③BD?AC这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．

（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）．

17．（本小题共14分）

如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，BC?BB1=2，BC1（1）求证：AB?B1C；

（2）若?B1BC?60?，直线AB与平面BB1C1C所成角为30?，求二面角A1?B1C1?B的余弦值．

B1C?O，AO?平面BB1C1C．

18．（本小题共14分）

随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称App）获取新闻资讯．为了解用户对某款新闻类App的满意度，随机调查了300名用户，调研结果如表：（单位：人）

满意

一般

不满意

青年人

60

55

25

中年人

70

25

5

老年人

x

y

10

（1）从所有参与调研的人中随机选取1人，估计此人“不满意”的概率；

北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第3页（共21页）

（2）从参与调研的青年人和中年人中各随机选取1人，估计恰有1人“满意”的概率；

（3）现需从参与调研的老年人中选择6人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各取2人，这种抽样是否合理？说明理由．

19. （本小题共15分）

x2y23已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F，离心率e?，长轴长为4．过点F的直线l与椭圆交于M，ab2N两点（非长轴端点）.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点Q(0,2)，求线段MQ长度的取值范围；

（3）延长MO交椭圆C于P点，求?PMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

20. （本小题共14分）

x2?a?2(a?R)． 已知函数f(x)?sinx??（1）若曲线y?f(x)在点(，f())处的切线经过坐标原点，求实数a；

22（2）当a?0时，判断函数f(x)在x?(0,?)上的零点个数，并说明理由．

21．（本小题共14分）

已知集合Sn?{X|X?(x1,x2,...,xn),xi?{0,1},i?1,2,...,n}，其中n2．对于A?(a1,a2,...,an)，B?(b1,b2,...,bn)?Sn，定义A与B之间的距离为d(A,B)??|ai?bi|．

i?1n（1）记I?(1,1,1,1)?S4，写出所有A?S4使得d(I,A)?3；

（2）记I?(1,1,...,1)?Sn，A、B?Sn，并且d(I,A)?d(I,B)?p?n，求d(A,B)的最大值；

（3）设P?Sn，P中所有不同元素间的距离的最小值为k，记满足条件的集合P的元素个数的最大值为m，

2n求证：m?0．1k?1Cn?Cn?...?Cn北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第4页（共21页）

北京十一学校2020-2021学年高三综合练习数学参考答案（2021.05）

满分：150分钟 时间：120分钟 命题人：王继、李久权

一．选择题（共10小题）

1．设集合P?{3，log2a}，Q?{a，b}，若PA．{3，0}

【解答】解：P?log2a?0

?a?1

Q?{0}，则PQ?(

)

B．{3，0，1}

Q?{0}，

C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}

从而b?0，P故选：B．

Q?{3，0，1}，

2．若|a|?|b|?1，(a?2b)?a，则向量a与b的夹角为(

)

A．30? B．60? C．120? D．150?

【解答】解：|a|?|b|?1，(a?2b)?a，

可得a2?2ab?0，即：1?2cos?a,b??0，所以?a,b??120?．

故选：C．

3．已知a?bi(a,b?R)是A．?1

1?i的共轭复数，则a?b?(

)

1?i1B．?

2C．1

2D．1

1?i(1?i)2?2i【解答】解：????i，

1?i(1?i)(1?i)2?a?bi??(?i)?i，

?a?0，b?1，

?a?b?1，

故选：D．

4．直线x?ay?2?0与直线ax?y?2a2?0平行，则实数a的值为(

)

A．1或?1

B．0或?1 C．?1 D．1

北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第5页（共21页） 【解答】解：由题解得：a??1，

故选：C．

1a2??2

a12a5．甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示．

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；

②甲同学的平均分比乙同学高；

③甲同学成绩的极差是18；

④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．

上面说法正确的是(

)

A．③④ B．①④ C．②④ D．②③

【解答】解：根据茎叶图数据知，

①甲同学成绩的中位数是81，乙同学成绩的中位数是87.5，

?甲的中位数小于乙的中位数；

②甲同学的平均分是x甲?乙同学的平均分是x乙??乙的平均分高；

72?76?80?82?86?90?81，

669?78?87?88?92?96?85，

6③甲同学成绩的极差是90-72=18；

④甲同学成绩数据比较集中，方差小，乙同学成绩数据比较分散，方差大．

?正确的说法是③④．

故选：A．

6．我国古代科学家祖冲之之子祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”

( “幂”是截面积，“势”是几何体的高），意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为(

)

北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第6页（共21页）

A．8?? B．8?2? C．12?2? D．12??

【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由长为3，宽为2，高为2的长方体，在长方体的两头挖去两个半圆柱组成的不规则的几何体；

故V?2?3?2???12?2?12?2?．

故选：C．

7．已知函数f(x)的图象沿x轴向左平移2个单位后与函数y?2x的图象关于x轴对称，若f(x0)??1，则x0?(

)

A．?2 B．2 C．?log23 D．log23

【解答】解：函数y?2x的图象关于x轴对称的函数为y??2x，将其向右平移2个单位，得到f(x)??2x?2，

f(x0)??1，

??2x0?2??1，即x0?2?0，

?x0?2．

故选：B．

8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7?S8，S8?S9?S10，则下面结论错误的是(

)

A．a9?0

C．d?0

【答案】C

【解答】解：因为等差数列{an}，S7?S8，S8?S9?S10，

所以S7?S8??a8?0，S9?S8?a9?0，S10?S9?a10?0，

北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第7页（共21页）

B．S15?S14

D．S8与S9均为Sn的最小值 即a8?0，a9?0，a10?0，d?0，

故A正确，C错误；

S15?S14?a15?0，即S15?S14，

故B正确；

由a8?0，a9?0，a10?0可知S8与S9均为Sn的最小值，D正确．

故选：C．

9. 在?ABC中，“sinA?cosB”是“?ABC为锐角三角形”的(

)

A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

【解答】解：若B为钝角，A为锐角，则sinA?0，cosB?0，

则满足sinA?cosB，但?ABC为锐角三角形不成立，

若?ABC为锐角三角形，则A，B，??A?B都是锐角，

即??A?B??2，即A?B??2，B??2?A，

?则cosB?cos(?A)，

2即cosB?sinA，

故“sinA?cosB”是“?ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，

故选：B．

?2x2,x0f(x)?110．已知函数f(x)??，若存在唯一的整数x，使得?0成立，则满足条件的整数a的个数x?a?3|x?1|?3,x?0?为（ ）．

A．2 B．3 C．4 D．无数

【解答】解：作出f(x)的函数图象如图所示：

f(x)?1表示点(x，f(x))与点(a,1)所在直线的斜率，可得曲线上只有一个点(x，f(x))(x为整数）和点(a,1)所在x?a直线的斜率大于0，

而点(a,1)在到直线y?1上运动，

由f(0)?0，f（1）?3，f（2）?0，

可得当?1a0时，只有点(1,3)满足

f(x)?1?0；

x?a北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第8页（共21页） 当1a2时，只有点(0,0)满足f(x)?1?0．

x?a综上可得a的范围是[?1，0][1，2]．

故答案为：[?1，0][1，2]．

故选：C．

二．填空题（共5小题）

y211．双曲线?x2?1的渐近线方程是____________.

4y2?x2，得y??2x 【解答】解：由4故答案为：y??2x

12. 设(2x?1)5?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5，则a1? ．

4【解答】解：a1=C15?2?(?1)?10，

故答案为：10．

13．已知f(x)?sin(x??)?3cos(x??)是偶函数，且??[0，?]，则??

5? ．

6北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第9页（共21页）

【解答】解：故f(x)?sin(x??)?3cos(x??)?2sin(x???)

是偶函数，

3??3???k???2，即???k??5?，

6?6，

因为??[0，?]，则??故答案为：

5?．

614．若命题p:?x?R，x2?2ax?a0是假命题，则实数a的一个值为____________.

【解答】解：若命题p:?x?R，x2?2ax?a0是假命题

则命题?p:?x?R，x2?2ax?a?0是真命题，

即△?4a2?4a?0，

解得：a?(0,1)，

故答案为：

15．向量集合S??a|a?(x,y),x,y?R?，对于任意?，??S，以及任意??(0,1)，都有???(1??)??S，则称S为“C类集”，现有四个命题：

①若S为“C类集”，则集合M???a|a?S?也是“C类集”；

②若S，T都是“C类集”，则集合M?a?b|a?S,b?T也是“C类集”；

③若A1，A2都是“C类集”，则A1；

A2也是“C类集”．

A2也是“C类集”1（答案不唯一，(0,1)上任意数均可）

2??④若A1，A2都是“C类集”，且交集非空，则A1其中正确的命题有 ①②④ （填所有正确命题的序号）．

【解答】解：①若S为“C类集”，则对于任意?，??S，以及任意??(0,1)，都有???(1??)??S，

集合M???a|a?S?，可得对于任意??，???M，以及任意??(0,1)，都有????(1??)???M，故①正确；

②可得对于任意a1?b1?M，a2?b2?M，以及任意??(0,1)，

?(a1?b1)?(1??)(a2?b2)??a1?(1??)a2+?b1?(1??)b2，

由于S是“C类集”，?a1?(1??)a1?S；由于T是“C类集”，?b1?(1??)b2?T，

所以?(a1?b1)?(1??)(a2?b2)??a1?(1??)a2+?b1?(1??)b2?M，故②正确；

北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第10页（共21页）

③若A1 “C类集”，可得对于任意?1，?1?A1，以及任意??(0,1)，都有??1?(1??)?1?A1，

，对于任意?2，?2?A2，以及任意??(0,1)，都有??2?(1??)?2?A2，

A2是“C类集”设M?A1A2，M为A1，A2中的元素的合并而得，且不重复，不符合“C类集”的定义，故③错误；

④若A1 “C类集”，可得对于任意?1，?1?A1，以及任意??(0,1)，都有??1?(1??)?1?A1，

，对于任意?2，?2?A2，以及任意??(0,1)，都有??2?(1??)?2?A2，

A2是“C类集”设M?A1A2，M为A1，A2中的元素的公共部分而得，且不为空集，符合“C类集”的定义，故④正确．

故答案为：①④．

北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第11页（共21页）

三．解答题（共6小题）

16．在锐角?ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且bsinA?（1）求B的大小；

（2）若AB?2，BC?3，点D在边AC上，______，求BD的长．

23a．

2请在①AD?DC；②?DBC??DBA；③BD?AC这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．

（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）．

【解答】解：（1）在?ABC中，由正弦定理因为?ABC为锐角三角形，

33ab，及bsinA?sinA．?（2分）

a得，sinBsinA??22sinAsinB?所以A?(0,)，

2所以sinA?0．

3．

2??又因为B?(0,)，所以B?．

32所以sinB?（2）若选①．

1法一：在?ABC中，因为AD?DC，所以BD?(BA?BC)．

2323?22?()?2?2??cos2221223?37， 所以BD?(BA?BC?2BABC)??（10分）?4164所以BD?37．

433?13法二：在?ABC中，由余弦定理，得AC2?AB2?BC2?2ABBCcosB?22?()2?2?2??cos?，

2234所以AC?13，

213．

4所以AD?DC?在?ABD中，由余弦定理，得AB2?BD2?DA2?2BDDAcos?ADB

即，

在?BDC中，由余弦定理，得BC2?BD2?DC2?2BDDCcos?CDB

即91313?BD2??BDcos?CDB．

4162又?ADB??CDB??，所以cos?ADB?cos?CDB?0．

所以4?913?2BD2?，

48北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第12页（共21页）

所以BD?若选②．

37．

4在?ABC中，S?ABC?S?ABD?S?CBD，

1?1?1?即BABCsin?BABDsin?BDBCsin，

23262613311131即?2????2?BD???BD??，

22222222解得BD?若选③．

63．

733?13在?ABC中，由余弦定理，得AC2?AB2?BC2?2ABBCcosB?22?()2?2?2??cos?，

2234所以AC?因为S?ABC?又S?ABC?所以13．

2133，

BABCsinB?24113BDAC?BD，

241333，

BD?44339．

13解得BD?

北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第13页（共21页）

17．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，BC?BB1=2，BC1（1）求证：AB?B1C；

B1C?O，AO?平面BB1C1C．

（2）若?B1BC?60?，直线AB与平面BB1C1C所成角为30?，求二面角A1?B1C1?B的余弦值．

【解答】解：（1）证明：由题知四边形BCC1B1是菱形，?B1C?BC1，

AO?平面BB1C1C，?AO?B1C，

AOB1C?O，?B1C?平面AOB，

AB?平面AOB，?B1C?AB．

（2）AB与平面BB1C1C所成角为30?，

AO?平面BB1C1C，??ABO?30?，

设O为原点，OB1为x轴，OC1为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，

则B1(1，0，0)，C1(0，3，0)，A(0，0，1)，B(0，?3，0)，

由AA1?BB1，知A1(1，3，1)，

?B1C1?(?1，3，0)，C1A1?(1，0，1)，

设平面A1B1C1的法向量为m?(x，y，z)，

??m?C1A1?x?z?0则?，取y?1，得m?(3,1,?3)，

??m?B1C1??x?3y?0?平面BB1C1的法向量n?(0,0,1)，

设二面角A1?B1C1?B的大小为?

?|cos?|?|cos?m,n?|?|m?n|321??，

|m||n|77北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第14页（共21页）

由题二面角A1?B1C1?B为钝二面角

?二面角A1?B1C1?B的余弦值为?21．

7

北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第15页（共21页）

18．随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称app)获取新闻资讯．为了解用户对某款新闻类app的满意度，随机调查了300名用户，调研结果如表：（单位：人）

满意

一般

不满意

青年人

60

55

25

中年人

70

25

5

老年人

x

y

10

（Ⅰ）从所有参与调研的人中随机选取1人，估计此人“不满意”的概率；

（Ⅱ）从参与调研的青年人和中年人中各随机选取1人，估计恰有1人“满意”的概率；

（Ⅲ）现需从参与调研的老年人中选择6人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各取2人，这种抽样是否合理？说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）从所有参与调研的人共有300人，不满意的人数是25?5?10?40

记事件D为“从所有参与调研的人中随机选取1人此人不满意”，则所求概率为P(D)?（Ⅱ）记事件M为“从参与调研的青年人中随机选取1人，此人满意”，则P(M)?记事件N为“从参与调研的中年人中随机选取1人，此人满意”，则P(N)?402?．

30015603?；

1407707?；

10010则“从参与调研的青年人和中年人各随机选取1人，恰有1人满意”的概率为P(MN?MN)?P(M)P(N)?P(M)P(N)?373737

?(1?)?(1?)??71071070（Ⅲ）这种抽样不合理．

理由：参与调研的60名老年人中不满意的人数为10，满意和一般的总人数为x?y?50，说明满意度之间存在较大差异，所以从三种态度的老年中各取2人不合理．合理的抽样方法是采用分层抽样，根据x，y，10的具体数值来确定抽样数值．

北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第16页（共21页）

x2y2319. 已知椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点为F，离心率e?，长轴长为4．

ab2（1）求椭圆的方程；

（2）已知点Q(0,2)，求线段MQ长度的取值范围；

（2）过点F的直线l与椭圆交于M，N两点（非长轴端点），MO的延长线与椭圆交于P点，求?PMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

【解答】解：（1）因为椭圆的长轴长为4，

所以2a?4，解得a?2，①

因为椭圆的离心率e?所以e?3c?，②

2a3，

2又因为a2?b2?c2，③

由①②③解得a2?4，b2?1，

x2所以椭圆的方程为?y2?1．

4x12（2）设M(x1,y1)，则?y12?1，且y1?[?1,0)?(0,1]，

4所以|MQ|?x1?(y1?2)?4?4y1?(y1?2)??3y1?4y1?8??3(y1?)?2|MQ|?8. 且2222222322828?[1,]，

33因此|MQ|的取值范围是[1,22)?(22,221]3

（3）法一：设直线MN的方程为x?my+3，

?x?my+3?联立?x2，得(4?m2)y2+23my?1?0，

2??y?1?4因为△?0，y1?y2?所以|MN|?1?m2?23m?1，y1y2?2，

2m?4m?44(m2?1)2(y1?y2)?4y1y2?，

m2?43m?12所以原点到直线x?my?3的距离d?，

所以点P到直线MN的距离2d?23m?12，

北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第17页（共21页）

所以S?MNP143m2?1，

?|MN|?2d?2m2?4令m2?1?t，t1，

则S?MNP?43t43?t2?3t?3t432t?3t?2，

当且仅当t?3时，取等号，

所以直线l的方程为x?2y?3?0或x?2y?3?0．

法二：设直线MN的方程为y?k(x?3)

?y?k(x?3)?联立?x2，得(4k2?1)x2?83k2x?12k2?4?0，

2??y?1?483k212k2?4因为△?0，x1?x2?2，x1x2?，

4k2?14k?14(k2?1)22所以|MN|?1?k(x1?x2)?4x1x2?，

4k2?1所以原点到直线y?k(x?3)的距离d?3|k|k?12，

所以点P到直线MN的距离2d?23|k|k?12，

所以S?MNP143|k|k2?1，

?|MN|?2d?224k?1令4k2?1?t，t1，

t?1t?3?44?31?2?3?3?3(1?1)2?4?2，

?43t2tt2t332则S?MNP当且仅当t?3即k?1时，取等号，

2所以直线l的方程为x?2y?3?0或x?2y?3?0．

北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第18页（共21页）

x2?a?2(a?R)． 20. 已知函数f(x)?sinx??（1）若曲线y?f(x)在点(，f())处的切线经过坐标原点，求实数a；

22（2）当a?0时，判断函数f(x)在x?(0,?)上的零点个数，并说明理由．

2xsinx?(x2?a)cosxx2?a?2的导数为f?(x)?【解答】解：（1）f(x)?，

2sinxsinx???可得曲线y?f(x)在点(，f())处的切线的斜率为f?()??，

222?2?f()??a?2，即切点为(，?a?2)，

2442??2由于切线经过原点，

?2可得4?a?2?2??，解得a???24?2；

（2）因为x?(0,?)，所以sinx?0，

x2?a?2?0，可化为x2?a?2sinx?0， 所以f(x)?sinx设g(x)?x2?a?2sinx，g?(x)?2x?2cosx，

当x?[?2，?)时，g?(x)?0，所以g(x)在[?，?)递增；

2当x?(0,)时，设h(x)?2x?2cosx，h?(x)?2?2sinx?0，

2??可得h(x)即g?(x)在(0,)递增，

2?又g?(0)??2?0，g?()???0，

2所以存在x0?(0,)，使得g?(x0)?0，当x?(0,x0)时，g(x)递减；

2??当x?(x0，)时，g(x)递增，

2所以，对于连续函数g(x)，在x?(0,x0)时，g(x)递减，在x?(x0，?)时，g(x)递增，

又因为g(0)??a?0，当g(?)??2?a?0即a??2时，g(x)有唯一零点在(x0，?)上，

当g(?)??2?a0即a?2时，g(x)在(0,?)上无零点，

综上可得，当0?a??2时，函数f(x)在(0,?)有唯一零点；

当a?2时，函数f(x)在(0,?)没有零点．

北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第19页（共21页） 21．已知集合Sn?{X|X?(x1,x2,...,xn),xi?{0,1},i?1,2,...,n}，其中n2．对于A?(a1,a2,...,an)，B?(b1,b2,...,bn)?Sn，定义A与B之间的距离为d(A,B)??|ai?bi|．

i?1n（1）记I?(1,1,1,1)?S4，写出所有A?S4使得d(I,A)?3；

（2）记I?(1,1,...,1)?Sn，A、B?Sn，并且d(I,A)?d(I,B)?p?n，求d(A,B)的最大值；

（3）设P?Sn，P中所有不同元素间的距离的最小值为k，记满足条件的集合P的元素个数的最大值为m，求证：2n．

m?01k?1Cn?Cn?...?Cn【解答】解：（1）A的所有可能取值为(1,0,0,0);(0,1,0,0);(0,0,1,0);(0,0,0,1)；

（2）设因为A?(a1,a2,...,an)，B?(b1,b2,...,bn),

d(I,A)?1?a1?1?a2?...?1?an?p，则a1?a2?...?an?n?p. 同理b1?b2?...?bn?n?p.

d(A,B)??|ai?bi|??|ai?1?1?bi|??|1?ai|??|1?bi|?2p.i?1nnnnn当2p?n时，i?1ni?1i?1

当2p?n时，d(A,B)??|ai?bi|??ai??bi?2n?2p.i?1i?1i?1n

A?(1,1,...,1,0,0,...,0)???当p个1A?(0,0,...,0,1,1,...,1)???，p个1时，上式等号成立.

n?2p,p???2； 综上d(A,B)的最大值为??2n?2p,p?n?2?（3）设P是满足条件的最大集合，即P中元素个数为m.

那么?A、B?P，且A?B，d(A,B)?k.

对?C?P，记集合S(C,k?1)?{X?Sn|d(X,C)?k?1}，

那么S(C,k?1)中元素个数为Cn?Cn?...?Cn.

对于Sn中的任意元素X，都存在C?P使得d(X,C)?k?1.

若不然，假设存在X0?Sn，对任意C?P都有d(X0,C)?k. 那么集合P\'?P?{X0}中所有不同元素间的距离的最小值为k，且P\'中有m?1个元素，这与m的最大性矛盾.

所有Sn中的每个元素必与P中的某个元素间的距离不超过k?1，

北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第20页（共21页）

01k?1从而Sn??S(C,k?1).

C?P所以2?m(Cn?Cn?...?Cn).

n01k?1

北京十一学校2020-2021学年度高三综合练习第21页（共21页）

一饭千金 帮助汉高祖打平天下的大将韩信，在未得志时，境况很是困苦。那时候，他时常往城下钓鱼，希望碰着好运气，便可以解决生活。但是，这究竟不是可靠的办法，因此，时常要饿着肚子。幸而在他时常钓鱼的地方，有很多漂母（清洗丝棉絮或旧衣布的老婆婆）在河边作工的，其中有一个漂母，很同情韩信的遭遇，便不断的救济他，给他饭吃。韩信在艰难困苦中，得到那位以勤劳克苦仅能以双手勉强糊口的漂母的恩惠，很是感激她，便对她说，将来必定要重重的报答她。那漂母听了韩信的话，很是不高兴，表示并不希望韩信将来报答她的。后来，韩信替汉王立了不少功劳，被封为楚王，他想起从前曾受过漂母的恩惠，便命从人送酒菜给她吃，更送给她黄金一千两来答谢她。 这句成语就是出于这个故事的。它的意思是说：受人的恩惠，切莫忘记，虽然所受的恩惠很是微小，但在困难时，即使一点点帮助也是很可贵的；到我们有能力时，应该重重地报答施惠的人才是合理。【感恩小结】感恩，是结草衔环，是滴水之恩涌泉相报。　　　感恩，是一种美德，是一种境界。　　感恩，是值得你用一生去等待的一次宝贵机遇。　　感恩，是值得你用一生去完成的一次世纪壮举。　　感恩，是值得你用一生去珍视的一次爱的教育。　　感恩，不是为求得心理平衡的喧闹的片刻答谢，而是发自内心的无言的永恒回报。　　　　　感恩，让生活充满阳光，让世界充满温馨……坚持希望 一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。历经千辛万苦，头发开始斑白。有一天，那瘸子对瞎子说：“天哪！这样下去哪有尽头？我不干了，受不了了。“老兄，我相信不远了，会找到的，只要心中存有希望，会找到的。”瞎子却说。可瘸子执意要留在途中的山寨中，瞎子便一个人上路了。

由于瞎子看不见，不知道该走向何处，他碰到人便问，人们也好心地指引他，他身上捉襟见肘，遍体鳞伤，可他心中的希望未曾改变。 终于有一天，他到达了那座山，他全力以赴向上爬，快到山顶的时候，他感觉自己浑身充满了力量，像年轻了几十岁，他向身旁摸索，便摸到了果子一样的东西，放在嘴里咬一口，天哪！他复明了，什么都看见了，绿绿的树木，花儿鲜艳，小溪清澈。果子长满了山坡，他朝溪水俯身看去，自己竞变成了一个英俊年轻的小伙子！准备离去的时候，他没有忘记替同行而来的瘸子带上两个仙果，到山寨的时候，他看到瘸子拄着拐棍，变成了一个头发花白的老头，瘸子认不出他了，因为他已是一个年轻的小伙子。可当他们相认后，瘸子吃下那果子，却丝毫未起任何变化，他们终于知道，只有自己的行动，才能换来成功和幸福。所谓成功，我们要心存希望，要勇往直前，要坚持，要有毅力，那么，成功早晚属于你。

更多推荐

瘸子,感恩,直线,漂母,调研,成绩,同学,瞎子