2024年3月1日发(作者：2014年荣威950报价和图片)

三年（2019-2023）高考真题分类汇编

专题08 计数原理、概率及统计

考点一 众数、中位数、平均数

1．【多选】（2023?新高考Ⅰ）有一组样本数据x1，x2，大值，则(

)

A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，，x6的平均数

，x6的中位数

，x6的标准差

，x6的极差

，x6的平均数，A错误；

x3?x4，B2，x6，其中x1是最小值，x6是最

【解析】A选项，x2，x3，x4，x5的平均数不一定等于x1，x2，B选项，x2，x3，x4，x5的中位数等于正确；

C选项，设样本数据x1，x2，x3?x4，x1，x2，2，x6的中位数等于，x6为0，1，2，8，9，10，可知x1，x2，，x6的平均数是5，x2，x3，x4，x5的平均数是5，

x1，x2，，x6的方差s12?150，

?[(0?5)2?(1?5)2?(2?5)2?(8?5)2?(9?5)2?(10?5)2]?63125，

?[(1?5)2?(2?5)2?(8?5)2?(9?5)2]?42x2，x3，x4，x5的方差s22?s12?s22，?s1?s2，C错误．

D选项，x6?x5，x2?x1，?x6?x1?x5?x2，D正确．

故选：BD．

2．（2023?上海）现有某地一年四个季度的GDP（亿元），第一季度GDP为232（亿元），第四季度GDP为241（亿元），四个季度的GDP逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP为 ．

【解析】设第二季度GDP为x亿元，第三季度GDP为y亿元，则232?x?y?241，

中位数与平均数相同，

?x?y232?x?y?241，

?24?x?y?473，

?该地一年的GDP为232?x?y?241?946（亿元）．

故答案为：946（亿元）．

考点二 极差、方差与标准差

3．【多选】（2021?新高考Ⅱ）下列统计量中，能度量样本x1，x2，?，xn的离散程度的有(

)

A．样本x1，x2，?，xn的标准差

C．样本x1，x2，?，xn的极差

【解析】中位数是反应数据的变化，

方差是反应数据与均值之间的偏离程度，

极差是用来表示统计资料中的变异量数，反映的是最大值与最小值之间的差距，

平均数是反应数据的平均水平，

故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差．

故选：AC．

4．【多选】（2021?新高考Ⅰ）有一组样本数据x1，x2，?，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，?，yn，其中yi?xi?c(i?1，2，?，n)，c为非零常数，则(

)

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本中位数相同

C．两组样本数据的样本标准差相同

D．两组样本数据的样本极差相同

【解析】对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误；

对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误；

对于C，标准差D(yi)?D(xi?c)?D(xi)，

?两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；

B．样本x1，x2，?，xn的中位数

D．样本x1，x2，?，xn的平均数

对于D，yi?xi?c(i?1，2，?，n)，c为非零常数，

x的极差为xmax?xmin，y的极差为(xmax?c)?(xmin?c)?xmax?xmin，

?两组样本数据的样本极差相同，故D正确．

故选：CD．

考点三 古典概型及其概率计算公式

5．（2022?新高考Ⅰ）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(

)

A．1

61B．

3C．1

2D．2

32【解析】从2至8的7个整数中任取两个数共有C7?21种方式，

其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，

故所求概率为故选：D．

6．（2022?上海）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ．

【解析】从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，

11211则每一类都被抽到的方法共有C1种，

?C3?C4?C1?C32?C4142?．

213而所有的抽取方法共有C84种，

11211C1?C3?C4?C1?C32?C4303??， 故每一类都被抽到的概率为C84707故答案为：3．

77．（2021?上海）已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 ．

22【解析】甲选2个去参观，有C4

?6种，乙选2个去参观，有C4?6种，共有6?6?36种，1若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有C4?4种，然后从剩余3个馆种选2个进行排列，有A32?6种，共有4?6?24种，

则对应概率P?故答案为：242?，

3632．

3

考点四 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式

8．（2021?新高考Ⅰ）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(

)

A．甲与丙相互独立

C．乙与丙相互独立

B．甲与丁相互独立

D．丙与丁相互独立

【解析】由题意可知，两点数和为8的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，

两点数和为7的所有可能为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，

P（甲)?611155，P（乙)?，P（丙)?，P（丁)???，

6?666?63666A:P（甲丙）?0?P（甲)P（丙)，

B:P（甲丁）?C:P（乙丙）?1?P（甲)P（丁)，

361?P（乙)P（丙)，

36D:P（丙丁）?0?P（丙)P（丁)，

故选：B．

9．【多选】（2023?新高考Ⅱ）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为?(0???1)，收到0的概率为1??；发送1时，收到0的概率为?(0???1)，收到1的概率为1??．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)(

)

A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1??)(1??)2

B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为?(1??)2

C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为?(1??)2?(1??)3

D．当0???0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率

【解析】采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为：(1??)(1??)(1??)?(1??)(1??)2，故A正确；

采用三次传输方案，若发送1，依次收到1，0，1的概率为：(1??)?(1??)??(1??)2，故B正确；

采用三次传输方案，若发送1，

则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，

故所求概率为：C32?(2??)2?(1??)3，故C错误；

223三次传输方案发送0，译码为0的概率P1?C3?(1??)?(1??)，

单次传输发送0译码为0的概率P2?1??，

22322P2?P1?(1??)?C3?(1??)?(1??)?(1??)[1?C3?(1??)?(1??)]

?(1??)(2?2??)

?(1??)?(2??1)，

当0???0.5时，P2?P1?0，

故P2?P1，故D正确．

故选：ABD．

考点五 频率分布直方图

10．（2023?新高考Ⅱ）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．

（1）当漏诊率p（c）?0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；

（2）设函数f（c）?p（c）?q（c）．当c?[95，105]，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间[95，105]的最小值．

【解析】（1）当漏诊率p（c）?0.5%时，

则(c?95)?0.002?0.5%，解得c?97.5；

q（c）?0.01?2.5?5?0.002?0.035?3.5%；

（2）当c?[95，100]时，

0.02，f（c）?p（c）?q（c）?(c?95)?0.002?(100?c)?0.01?5?0.002??0.008c?0.82…

当c?(100，105]时，f（c）?p（c）?q（c）?5?0.002?(c?100)?0.012?(105?c)?0.002?0.01c?0.98?0.02，

c100??0.008c?0.82,95剟故f（c）??，

?0.01c?0.98,100?c?105所以f（c）的最小值为0.02．

11．（2022?新高考Ⅱ）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；

（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001

)．

【解析】（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：

x?5?0.001?10?15?0.002?10?25?0.012?10?35?0.017?10?45?0.023?10?55?0.020?10?65?0.017?10?75?0.006?10?85?0.002?10?47.9岁．

（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的频率为：

(0.012?0.017?0.023?0.020?0.017)?10?0.89，

?估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率为0.89．

（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间[40，50)为事件B，此人患这种疾病为事件C，

则P(C|B)?P(BC)0.1%?0.023?10??0.0014．

P(B)16%

考点六排列、组合及简单计数问题

12．（2023?新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(

)

4515?C200A．C400种

2040?C200B．C400种

3030C．C400种

?C2004020D．C400种

?C200【解析】初中部和高中部分别有400和200名学生，

?人数比例为400:200?2:1，

则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，

4020则有C400种．

?C200故选：D．

13．（2022?新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(

)

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

24【解析】把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有A2?A4?48种情况，

132甲站在两端的情况有C2A3A2?24种情况，

?甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48?24?24种，

故选：B．

14．（2023?新高考Ⅰ）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．

11【解析】若选2门，则只能各选1门，有C4C4?16种，

如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，

1221则有C4C4?C4C4?24?24?48，

综上共有16?48?64种不同的方案．

故答案为：64．

考点七二项式定理

)100?a0?a1x?a2x2?15.（2023?上海）已知(1?2023x)100?(2023?x在k?{0，1，2，，100}使得ak?0，则k的最大值为 ．

?a99x99?a100x100，若存rr(2023x)r?C100?2023r?xr，r?{0，【解析】二项式(1?2023x)100的通项为Tr?1?C1001，2，?，100}，

rr2023100?r(?x)r?C100?2023100?r?(?1)r?xr，r?{0，二项式(2023?x)100的通项为Tr?1?C1001，2，?，100}，

kkkk?{0，100}，?ak?C100?2023k?C100?2023100?k?(?1)k?C100[2023k?2023100?k?(?1)k]，1，2，，

若ak?0，则k为奇数，

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