奔驰定理与四心问题

奇瑞a3的优点和缺点-广汽本田商务车

2023年11月21日发(作者：东风雪铁龙c6缺点)

奔驰定理与四心问题

【考点预测】

一、四心的概念介绍：

(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．

(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．

(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．

(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．

二、奔驰定理---解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知△ABC的顶点A(x，y，y，y，.

112233

)，B(x)，C(x)，则△ABC的重心坐标为G

???

?????

注意：(1)在△ABC中，若O为重心，则OA．

+OB+OC=0

(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．

????????

重心的向量表示：AG．

=AB+AC

???

?????

奔驰定理：S，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于λ

ABC321

?OA+S?OB+S?OC=0:λ:λ

?????????

????????????????

奔驰定理证明：如图，令λ，λ，λ，即满足OA

112131111

OA=OAOB=OBOC=OC+OB+OC=0

SSS

△AOB△AOC△BOC

111

===:S:S=λ:λ:λ

，，，故S.

△AOB△AOC△BOC321

SSS

△AOB△AOC△BOC

λλλλλλ

121323

111111

x+x+x

123

y+y+y

123

三、三角形四心与推论：

???

?????

(1)O是△ABC的重心：S:S:S=1:1:1?OA+OB+OC=0

△BOC△COA△A0B

．

???

?????

(2)O是△ABC的内心：S:S:S=a:b:c?OA+OB+OC=0

△B0C△COA△AOB

．

???

?????

(3)O是△ABC的外心：S:S:S=sin2A:sin2B:sin2C?sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0

△B0C△COA△AOB

．

???

?????

(4)O是△ABC的垂心：S:S:S=tanA:tanB:tanC?tanAOA+tanBOB+tanCOC=0

△B0C△COA△AOB

．

【方法技巧与总结】l

?????

ABAC

(1)内心：三角形的内心在向量+

?????

所在的直线上.

????

ABAC

????

??????

AB?PC+BC?PC+CA?PB=0?P为△ABC的内心.

????

第１页，共１６页

(2)外心：PA=PB=PC?P为△ABC的外心.

????

(3)垂心：PA?PB=PB?PC=PC?PA?P为△ABC的垂心.

(4)重心：PA+PB+PC=0?P为△ABC的重心.

【题型归纳目录】l

题型一：奔驰定理

题型二：重心定理

题型三：内心定理

题型四：外心定理

题型五：垂心定理

【典例例题】

题型一:奔驰定理

例1.(多选题)(2022·全国·高三专题练习)

“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对

应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已

???

知O是△ABC内的一点，△BOC、△AOC、△AOB的面积分别为S、S、S，则S

ABCAB

?OA+S?OB+

???

S?OC=0.若O是锐角△ABC内的一点，∠BAC、∠ABC、∠ACB是△ABC的三个内角，且点O满

??????

??????????

足OA，则( )

?OB=OB?OC=OC?OA

A.O为△ABC的垂心

B.∠AOB=π-∠ACB

???

?????

C.OA:OB:OC=sin∠BAC:sin∠ABC:sin∠ACB

????

???

?????

D.tan∠BAC?OA+tan∠ABC?OB+tan∠ACB?OC=0

例2.(多选题)(2022·全国·高三专题练习)

点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有( )

?????

???

ABAC

A.若动点P满足OP=OA+λ+则动点P的轨迹一定经过△ABC的(λ>0)，

?????

????

ABsinBACsinC

垂心；

???????

???

????

ACABBCBA

B.若OA?则点O为△ABC的内心；-=OB?-=0，

?????????

ACABBA

????

??????

?????

?????????

C.若(OA+OB)?AB=(OB+OC)?BC=0，则点O为△ABC的外心；

第２页，共１６页

???

D.若动点P满足OP=OA+λ+(λ>0)，则动点P的轨迹一定经过△ABC

的重心.

?????

ABAC

?????

|AB|cosB|AC|cosC

例3.(多选题)(2022·全国·高三专题练习)奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB

???

?????

的面积分别为S，S，S，则S

ABCABC

?OA+S?OB+S?OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美

的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔

驰定理”.若O、P是锐角△ABC内的点，A、B、C是△ABC的三个内角，且满足PA

+PB+PC=

????????

??????????

CA?OB=OB?OC=OC?OA

，OA，则( )

A.S:S:S=4:2:3B.∠A+∠BOC=π

△PAB△PBC△PCA

??????

??????????

C.OA:OB:OC=cosA:cosB:cosCD.tanA?OA+tanB?OB+tanC?OC=0

????

例4.(多选题)(2022·浙江·高三专题练习)如图，已知点G为△ABC的重心，点D，E分别为AB，AC上的

??????????

点，且D，G，E三点共线，AD，AE，m>0，n>0，记△ADE，△ABC，四边形BDEC

=mAB=nAC

的面积分别为S，S，S，则()

123

A.+=3B.=mn

C.≥D.≤

第３页，共１６页

例5.(河南省安阳市2021-2022学年高一年级下学期阶段性测试(五)数学试卷)已知O是△ABC内的一

???

?????

点，若△BOC,△AOC,△AOB的面积分别记为S，则S

123123

,S,S?OA+S?OB+S?OC=0.这个定理对

应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，

???

?????

且OA，则tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=( )

+2OB+3OC=0

A.1:2:3B.1:2:4

C.2:3:4D.2:3:6

例6.(2021·四川德阳·高一期末)已知P是△ABC内部一点，且PA，则△PAB、

+3 PB+5PC=0

△PCA、△PBC面积之比为( )

A.1：3：5B.5：3：1C.1：9：25D.25：9：1

例7.(2022·安徽·芜湖一中三模(理))平面上有△ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若将△OAB，

???

?????

△OBC，△OCA的面积分别记作S?OA+S?OB+S?OC=0

cababc

，S，S，则有关系式S．因图形和奔

驰车的logo很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，

???

?????

c，若满足a?OA+b?OB+c?OC=0

，则O为△ABC的( )

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

例8.(2022·云南·一模(理))在△ABC中，D是直线AB上的点.若2BD，记△ACB的面积为

=CB+λCA

S=( )

，△ACD的面积为S，则

A.B.C.D.

λλ12

6233

例9.(2022·全国·高三专题练习)在平面四边形ABCD中，已知△ABC的面积是△ACD的面积的2倍.若

????????

存在正实数x,y使得AC成立，则2x+y的最小值为( )

=-4AB+1-AD

A.1B.2C.3D.4

第４页，共１６页

例10.(2022·上海·高三专题练习)如图，P为△ABC内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c.总有优

美等式S成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现

△PBC△PAC△PAB

PA+SPB+SPC=0

有以下命题：

①若P是△ABC的重心，则有PA；

+PB+PC=0

②若aPA成立，则P是△ABC的内心；

+bPB+cPC=0

???????

③若AP，则S

=AB+AC:S=2:5；

△ABP△ABC

④若P是△ABC的外心，A=，PA，则m+n∈-2,1.

=mPB+nPC

则正确的命题有___________.

???

例11.(2022·江西宜春·高三期末(理))已知S，则

△ABC

=3，点M是△ABC内一点且MA+2MB=CM

△MBC的面积为( )

A. B. C. D.

1131

4342

????????

例12.(2022·全国·高三专题练习)已知点M是△ABC所在平面内一点，若AM，则△ABM

=AB+AC

与△BCM的面积之比为( )

A.B.C.2D.

854

323

???

?????

例13.(2022·全国·高三专题练习)已知点O为正△ABC所在平面上一点，且满足OA

+λOB+(1+λ)OC=

，若△OAC的面积与△OAB的面积比值为1:4，则λ的值为( )

A.B.C.2D.3

第５页，共１６页

【方法技巧与总结】

奔驰定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S.

△PBC△PAC△PAB

?PA+S?PB+S?PC=0

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面

向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.

题型二:重心定理

例14.(2022·浙江绍兴·模拟预测)

已知△-ABC是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一

???

?????????

点，G是△ABC的重心．若OM，则AM

⊥OG+BM+CM=___________．

??????????

例15.(2022·江苏南京·模拟预测)在△ABC中，AB

?AC=0，O为△ABC的重心，DAB=3，AC=4，

????

??????

在边BC上，且AD⊥BC，则AD

?AO______．

???????

例16.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC中，CB，CA，且OP，

=a=b=OC+m+

asinB

bsinA

m∈R，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )

A.重心B.内心C.外心D.垂心

例17.(2022·全国·高三专题练习)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足OP

???

?????

[(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)·OC]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过( )

A.△ABC的内心B.△ABC的垂心C.△ABC的重心D.AB边的中点

例18.(2022·河北·石家庄二中模拟预测)在△ABC中，G为重心，AC=23，BG=2，则AB

?BC=___

__.

例19.(2022·四川达州·二模(文))在△ABC中，G为重心，AC=23，BG=2，则BA

?BC=_______

____.

第６页，共１６页

例20.(2022·全国·高三专题练习(理))在△ABC中，点G是△ABC的重心，过点G作直线分别交线段AB，

AB于点N，M(M，N不与△ABC的顶点重合)，则

△ANG

的最小值为___________.

△CMG

?????

例21.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC中，AB=1，∠ABC=60°，AC

·AB=-1，若O是△ABC的重

???

心，则BO

·AC=________.

?????

例22.(2022·全国·高三专题练习)如图，O是△ABC的重心，AB，AC，D是边BC上一点，且BD

=a=b=

??????

3DC=λa+μb

，OD，则λ+μ=________．

??????

例23.(2022·重庆·三模)已知O为△ABC的重心，记OA，OB，则AC

=a=b=( )

????

A.-2a-bB.-a+2bC.a-2bD.2a+b

例24.(2022·安徽蚌埠·模拟预测(理))已知点P是△ABC的重心，则下列结论正确的是( )

A.sin2APA+sin2BPB+sin2CPC=0

??????

B.sinAPA+sinBPB+sinCPC=0

??????

C.tanAPA+tanBPB+tanCPC=0

??????

D.PA+PB+PC=0

例25.(2022·辽宁·二模)已知点P为△ABC的重心，AB=3，AC=6，A=，点Q是线段BP的中点，则

???

|AQ|为( )

A.2B.C.3D.

2π

第７页，共１６页

例26.(2022·全国·高三专题练习)设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

????????

OP=OA+λ(AB+AC)，λ∈[0,+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )

A.外心B.内心C.重心D.垂心

????????

例27.(2022·宁夏石嘴山·一模(理))已知G是△ABC重心，若AB的值为

????

=2，则AG?BCAC=10，

( )

A.4B.1C.-2D.2

例28.(2022·黑龙江·哈九中高三开学考试(理))数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次

指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距

离的一半，该直线被称为欧拉线.若AB=4，AC=2，则下列各式不正确的是( )

?????????

??????????????????

A.AG?BC-4=0.B.2GO=-GHC.AO?BC+6=0D.OH=OA+OB+OC

???????????

，G为△ABC的重心，若AG例29.(2022·湖北省鄂州高中高三期末)在△ABC中，A=

?AB=AG?AC

=6，则△ABC外接圆的半径为( )

A.3B.C.2D.23

???????????

例30.(2022·全国·高三专题练习(理))在△ABC中，A=，O为△ABC的重心，若AO

?AB=AO?AC=

2，则△ABC外接圆的半径为( )

A.B.C.3D.

32343

333

例31.(2022·全国·高三专题练习)已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,O为平面内任意一点，动点Р满足

?????

???

ABAC

OP=OA+λ+,λ∈0,+∞则动点P的轨迹一定经过△ABC的( )

?????

????

ABsinBACsinC

A.重心B.垂心C.内心D.外心

【方法技巧与总结】

三角形的重心一定在三角形的中线上，所以，在等式中显示出的现象是两个相加的向量，前面的系数相同，还

需注意两个系数相同的向量相加的同时还会产生中点．

第８页，共１６页

题型三：内心定理

???

例32.(2022·全国·高三专题练习)若O在△ABC所在的平面内，且满足以下条件OA

?-=

????

?????

BCBACACB

OB?-=OC?-=0，则O是△ABC的( )

????????

|BC||CB|

BA|CA|

?????

ACAB

?????

|AC||AB|

A.垂心B.重心C.内心D.外心

例33.(2022·全国·高三专题练习)已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满

?????

???

ABAC

足OP

=OA+λ++∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )(λ∈(0，

?????

|AB||AC|

A.外心B.内心C.重心D.垂心

例34.(2022·全国·高三专题练习)已知Rt△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，I是△ABC的内心，P是

???????

△IBC内部(不含边界)的动点.若AP=λAB+μAC(λ，μ∈R)，则λ+μ的取值范围是______.

?????

例35.(2022·广西柳州·高一期中)设O为△ABC的内心，AB=AC=5，BC=8，AO

=mAB+

nBCm,n∈R，则m+n=_______________

???

例36.(2022·全国·高三专题练习)△ABC中，a?b?c分别是BC?AC?AB的长度，若a?OA

+b?OB+c?

?????

OC=O

，则O是△ABC的( )

A.外心B.内心C.重心D.垂心

??????

例37.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC中，AB=2AC，动点M满足AM

?(BC+AC)=0，则直线AM

一定经过△ABC的( )

A.垂心B.内心C.外心D.重心

例38.(2022·全国·高三专题练习)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC内一点M满

???

足：a?MA

+b?MB+c?MC=0，则M一定为△ABC的( )

A.外心B.重心C.垂心D.内心

例39.(2022·全国·高三专题练习)已知O是△ABC所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，

aPA+bPB+cPC

若PO

=(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，则O点是△ABC的( )

a+b+c

第９页，共１６页

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【方法技巧与总结】

???

????????

角平分线定理：若OA，OB，则∠AOB平分线上的向量OM为λ，λ由OM决定．

=a=b+

|a|

|b|

角平分线定理证明：令和分别为OA和OB方向上的单位向量，是以和为一组邻边的

???

ababab

??????

|a||a||a|

???

|b||b||b|

???

|a|

平行四边形过O点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故在∠AOB平分线上，但∠AOB平

??????

分线上的向量OM终点的位置由OM决定．当λ=1时，四边形OAMB构成以∠AOB=120°的菱形．

|b|

题型四：外心定理

???

例40.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC中，AB=4，AC=3，A=，点O为△ABC的外心，若AO

?????

λAB+μAC

，λ、μ∈R，则λ=____________.

例41.(2022·全国·高三专题练习)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满

?????

OB+OCABAC

足OPλ∈(0，+∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的，

=+λ+

?????

????

ABcosBACcosC

( )

A.重心B.外心C.内心D.垂心

???

例42.(2022·全国·模拟预测)在△ABC中，AB=2，AC=23，BC=4，点O为△ABC的外心，则AO

?BC

=______，P是三角形ABC外接圆圆心O上一动点，则PA?PB+PC

的最小值为______.

????????

例43.(2022·全国·高三专题练习)设O为△ABC的外心，若AO，则sin∠BAC的值为____

=AB+2AC

_______.

第１０页，共１６页

???????

例44.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC中，点O为△ABC的外心，|AB

|=6，则AB?AO=______.

例45.(2022·宁夏六盘山高级中学二模(理))已知△ABC中，AB=AC=1，BC=2，点O是△ABC的外

心，则CO

?AB=________.

例46.(2022·全国·高三专题练习)已知在△ABC中，AB=1，BC=6，AC=2，点O为△ABC的外心，若

????????

AO=sAB+tAC

，则有序实数对s,t为________．

例47.(2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测)在△ABC中，点O、点H分别为△ABC的外心和垂心，|AB|=

?????

5,|AC|=3，则OH?BC=________.

????????

例48.(2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模(文))已知△ABC的外心为O，若AB，

+AC=2AO

?????

且OA，则B=___________.

????

=AB

第１１页，共１６页

??????

???????

例49.(2022·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xoy中，OA

=(1,3)，OB=(3,1)，OC=xOA+yOB

(其中x∈R,y∈R).

???

(1)若点C在直线AB上，且OC⊥AB

，求x,y的值.

(2)若点C为ΔOAB的外心，求点C的坐标.

例50.(2022·全国·高三专题练习)设O为△ABC的外心，a，b，c分别为角 A，B，C的对边，若b=3， c=

???

5，则OA?BC=( )

A.8B.-8C. 6D.-6

第１２页，共１６页

???

例51.(2022·全国·高三专题练习)已知△ABC的外心为O，2AC=5BC=10，则2OC

?AB=( )

A.11B.10C.20D.21

??????

例52.(2022·全国·模拟预测(理))在△ABC中，∠ABC=，O为△ABC的外心，BA

?BO=2，BC?BO=

4，则BA?BC=( )

A.2B.22C.4D.42

CA=2CB=4，F为△ABC的外心，则CF例53.(2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习)在△ABC中，

?AB

=( )

A.-4B.4C.-6D.6

???

例54.(2022·江西上饶·二模(理))已知△ABC的外心为点O，M为边BC上的一点，且BM

=2MC,∠BAC

??????

=,AO?AM=1，则△ABC的面积的最大值等于( )

A.B.3C.D.

33636

284

例55.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC中，角B,C的边长分别为b,c，点O为△ABC的外心，若b

???

=2b，则BC?AO

的取值范围是( )

111

A.-,0B.0,2C.-,+∞D.-,2

???

444

???

第１３页，共１６页

??????

例56.(2022·全国·高三专题练习)已知平面向量OA，OB满足OA

?OB=0，OBD为线段OA上一=2，

点，E为△AOB的外心，则OB的值为( )

?DE

A.-2B.-C.D.2

???????

例57.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC中，设AC，那么动点M的轨迹必通过

-AB=2AM?BC

△ABC的( )

A.垂心B.内心C.外心D.重心

【方法技巧与总结】

外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等．

????????????????

111

??????

222

(1)AO?AB=|AB|?AC=|AC|?BC=|BC|

，AO；BO；

222

???????????????

111111

??????????

222222

(2)AO?AF=|AB|+|AC|?BE=|AB|+|BC|?CD=|BC|+|AC|

，BO，CO；

444444

??????????????????

??????????

111111

(3)AO?BC=|AC|-|AB|?AC=|BC|-|BA|?AB=|BC|-|AC|

222222

，BO，CO．

222222

题型五：垂心定理

???

?????

例58.(2022·全国·高三专题练习)已知O为△ABC的垂心，且OA，则角A的值为( )

+2OB+3OC=0

A.B.C.D.

3ππ2ππ

4433

例59.(2022·全国·高三专题练习)设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足OP

?????

???

ABAC

=OA+λ+

?????

λ∈0,+∞，则点P的轨迹经过△ABC的( )，

????

ABcosBACcosC

A.内心B.外心C.垂心D.重心

第１４页，共１６页

例60.(2022·全国·高三专题练习)若O是△ABC的垂心，∠A=

???

msinBsinCAO

，则m=( )

A.1B.C.3D.

?????

,sinBcosCAB+sinCcosBAC=

??????

??????????

例61.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC中，若OA，则下列说法正确的是

?OB=OB?OC=OC?OA

( )

A.O是△ABC的外心B.O是△ABC的内心

C.O是△ABC的重心.D.O是△ABC的垂心

????

??????

222

例62.(2022·全国·高三专题练习)已知点O为△ABC所在平面内一点，且OA

+BC=OB+CA=OC+

，则O一定为△ABC的( )

A.外心B.内心C.垂心D.重心

????

例63.(2022·上海·高三专题练习)三角形ABC所在平面内一点P满足PA，那么

?PB=PB?PC=PC?PA

点P是三角形ABC的( )

A.重心B.垂心C.外心D.内心

例64.(2022·全国·高三专题练习)点P为△ABC所在平面内的动点，满足AP

?????

ABAC

?????

t∈0,+∞，则点P的轨迹通过△ABC的( )，

????

ABcosBACcosC

A.外心B.重心C.垂心D.内心

????

?????

例65.(2022·全国·高三专题练习)若H为△ABC所在平面内一点，且HA

????

+BC=HB+CA=HC

????

+AB

则点H是△ABC的( )

A.重心B.外心C.内心D.垂心

第１５页，共１６页

例66.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC中，AB=AC，tanC=，H为△ABC的垂心，且满足AH

mAB+nBC

，则m+n=___________.

???

【方法技巧与总结】

??????????

????????????????

OA?OB=OC?OB?OB?(OA-OC)=0?OB?CA=0，即OB⊥CA

第１６页，共１６页

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