2022高考数学真题分类汇编:数列

2023年12月14日发(作者：别克君越中大型高档轿车)

2022高考数学真题分类汇编

六、数列

一、选择题

1.（2022·全国乙（文）T10）已知等比数列?an?的前3项和为168，a2?a5?42，则a6?（

）

A. 14

【答案】D

【解析】

【分析】设等比数列?an?的公比为q,q?0，易得q?1，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.

【详解】解：设等比数列?an?的公比为q,q?0，

若q?1，则a2?a5?0，与题意矛盾，

所以q?1，

B. 12 C. 6 D. 3

?a11?q3?a1?96?a1?a2?a3??168?则?，解得?1，

1?qq???42?a?a?aq?aq?4211?25所以a6?a1q?3.

故选：D.

2.（2022·全国乙（理）T8）

已知等比数列?an?的前3项和为168，a2?a5?42，则a6?（

）

A. 14

【答案】D

【解析】

【分析】设等比数列?an?的公比为q,q?0，易得q?1，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.

【详解】解：设等比数列?an?的公比为q,q?0，

B. 12 C. 6 D. 3

5??若q?1，则a2?a5?0，与题意矛盾，

所以q?1，

?a11?q3?a1?96?a1?a2?a3??168?则?，解得?1，

1?qq???42??a2?a5?a1q?a1q?42所以a6?a1q?3.

故选：D.

3.（2022·全国乙（理）T4）

嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到5??数列?bn?：b1?1?1?1，b2?1?11，?1?b3?1?1?1?1?2?2?1，…，依此类推，其中?3?k?N?(k?1,2,?)．则（

）

A

b1?b5

.B.

b3?b8 C.

b6?b2 D.

b4?b7

【答案】D

【解析】

【分析】根据?k?N即可求解.

【详解】解：因为?k?N**?k?1,2,…?，再利用数列?bn?与?k的关系判断?bn?中各项的大小，?k?1,2,??，

11，得到b1?b2， 所以?1??1?11，?1??2?1?1?2同理?1?1?2??1??2?1，可得b2?b3，b1?b3

?3,?1?11??1?111又因为?2?1?2?1?3?1?2??4?3?2??3?1，

?4故b2?b4，b3?b4；

以此类推，可得b1?b3?b5?b7?…，b7?b8，故A错误；

b1?b7?b8，故B错误；

1?1?2?2?1?3?…1b?b6，故C错误；

1，得2?6??1?11?1??2?1?3?1?2?…?4?6?b?b7，故D正确.

1，得4?7故选：D.

4.（2022·新高考Ⅱ卷T3）

中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，DD1,CC1,BB1,AA1是举，

OD1,DC1,CB1,BA1是相等的DD1CC1BB1AA1?0.5,?k,?k,?k3，若k1,k2,k3是公步，相邻桁的举步之比分别为12OD1DC1CB1BA1差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3?（

）

A. 0.75

【答案】D

【解析】

B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9

【分析】设OD1?DC1?CB1?BA1?1，则可得关于k3的方程，求出其解后可得正确的选项.

【详解】设OD1?DC1?CB1?BA1?1，则CC1?k1,BB1?k2,AA1?k3，

依题意，有k3?0.2?k1,k3?0.1?k2，且DD1?CC1?BB1?AA1?0.725，

OD1?DC1?CB1?BA1所以0.5?3k3?0.3?0.725，故k3?0.9，

4故选：D

5.（2022·浙江卷T10）

已知数列?an?满足a1?1,an?1?an?12an?n?N??，则（

）

37

2D. A.

2?100a100?5

2B.

5?100a100?3

2C.

3?100a100?7?100a100?4

2【答案】B

【解析】

【分析】先通过递推关系式确定?an?除去a1，其他项都在0,1范围内，再利用递推公式??变形得到111111???，累加可求出?(n?2)，得出100a100?3，再利用an3an?1an3?an311111?1??????1??an?1an3?an3?33?n?1?，累加可求出n?2111?111?5?1??n?1????????，再次放缩可得出100a100?．

an33?23n?2【详解】∵a1?1，易得a2?由题意，an?1?an?1?2??0,1?，依次类推可得an??0,1?

3??13111????an?，即，

an?1an?3?an?an3?an3?1111???∴，

an?1an3?an3即1??，??，??，…，??,(n?2)，

a2a13a3a23a4a33anan?131111?1?n?1??，即?(n?2),(n?2)， 累加可得an3an3∴an?31100?3,

,?n?2?，即a100?，100a100?3434n?211111?1??????1??,(n?2)， 又an?1an3?an33n?1??3?n?2∴111?1?111?1?111?1????1??，???1??，???1??，…，a2a13?2?a3a23?3?a4a33?4?111?1????1??,(n?3)，

anan?13?n?累加可得111?111??1??n?1????????,(n?3)，

an33?23n?∴11?111?1?11??1?33????????33???4??94??39，

a1003?2399?3?26?115?40，∴a100?，即100a100?；

a100402即综上：5?100a100?3．

2故选：B．

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.

二、填空题

1.（2022·全国乙（文）T13）记Sn为等差数列?an?的前n项和．若2S3?3S2?6，则公差d?_______．

【答案】2

【解析】

【分析】转化条件为2?a1+2d??2a1?d?6，即可得解.

【详解】由2S3?3S2?6可得2?a1?a2+a3??3?a1?a2??6，化简得2a3?a1?a2?6，

即2?a1+2d??2a1?d?6，解得d?2.

故答案为：2.

2.（2022·北京卷T15） 己知数列?an?各项均为正数，其前n项和Sn满足an?Sn?9(n?1,2,?)．给出下列四个结论： ①?an?的第2项小于3；

②?an?为等比数列；

③?an?为递减数列；

④?an?中存在小于1的项．

100其中所有正确结论的序号是__________．

【答案】①③④

【解析】

【分析】推导出an?99?，求出a1、a2的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利anan?1用数列单调性的定义可判断③.

【详解】由题意可知，?n?N?，an?0，

2当n?1时，a1?9，可得a1?3；

当n?2时，由Sn?9999?可得Sn?1?，两式作差可得an?，

anan?1anan?19992?a2?3，整理可得a2??a?3a2?9?0， 所以，n，则a2an?1an因为a2?0，解得a2?35?3?3，①对；

22?9?812假设数列?an?为等比数列，设其公比为q，则a2?a1a3，即?，

??SSS?2?13所以，S2?S1S3，可得a1?1?q??a11?q?q2222?2?，解得q?0，不合乎题意，

故数列?an?不是等比数列，②错；

当n?2时，an?列，③对；

假设对任意的n?N?，an?所以，a100000?9?an?1?an?99???0，可得an?an?1，所以，数列?an?为递减数anan?1anan?111?1000， ，则S100000?100000?1001009S100000?91?，与假设矛盾，假设不成立，④对.

1000100故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.

三、解答题

1.（2022·全国甲（文T18）(理T17）记Sn为数列?an?的前n项和．已知2Sn?n?2an?1．

n（1）证明：?an?是等差数列；

（2）若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．

【答案】（1）证明见解析；

（2）?78．

【解析】

?S1,n?1a?【分析】（1）依题意可得2Sn?n?2nan?n，根据n?，作差即可得到S?S,n?2n?1?n2an?an?1?1，从而得证；

（2）由（1）及等比中项的性质求出a1，即可得到?an?的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得．

【小问1详解】

解：因为2Sn?n?2an?1，即2Sn?n2?2nan?n①，

n2当n?2时，2Sn?1??n?1??2?n?1?an?1??n?1?②，

①?②得，2Sn?n2?2Sn?1??n?1??2nan?n?2?n?1?an?1??n?1?，

即2an?2n?1?2nan?2?n?1?an?1?1，

即2?n?1?an?2?n?1?an?1?2?n?1?，所以an?an?1?1，n?2且n?N*，

所以?an?是以1为公差的等差数列．

【小问2详解】

2解：由（1）可得a4?a1?3，a7?a1?6，a9?a1?8，

又a4，a7，a9成等比数列，所以a7?a4?a9，

即?a1?6???a1?3???a1?8?，解得a1??12，

22n?n?1?12251?25?625所以an?n?13，所以Sn??12n?，

?n?n??n???2222?2?82所以，当n?12或n?13时?Sn?min??78．

2.（2022·新高考Ⅰ卷T17）

记Sn为数列?an?的前n项和，已知a1?1,?等差数列．

（1）求?an?的通项公式；

（2）证明：?Sn?1是公差为的?a3?n?111?????2．

a1a2an【答案】（1）an?（2）见解析

【解析】

n?n?1?2

Sn1n?2?n?2?an，?1?n?1???【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到Sn?an333利用和与项的关系得到当n?2时，an?Sn?Sn?1??n?2?an??n?1?an?1,进而得：33ann?1n?n?1??，利用累乘法求得an?，检验对于n?1也成立，得到?an?的通项公an?1n?12式an?n?n?1?2；

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到【小问1详解】

1111???????2?1??，进而证得.

a1a2an?n?1?∵a1?1，∴S1?a1?1,∴S1?1,

a1又∵??Sn?1是公差为的等差数列，

?a3?n?Sn1n?2?n?2?an,

?1?n?1???∴,∴Sn?an333∴当n?2时，Sn?1??n?1?an?1，

3∴an?Sn?Sn?1??n?2?an??n?1?an?1,

33整理得：?n?1?an??n?1?an?1,

即ann?1?,

an?1n?1aaa2a3????n?1?n

a1a2an?2an?1∴an?a1?34nn?1n?n?1?，

?1???????23n?2n?12显然对于n?1也成立，

∴?an?的通项公式an?【小问2详解】

n?n?1?2；

121??1??2???,

ann?n?1??nn?1?∴

3.（2022·新高考Ⅱ卷T17）已知?an?为等差数列，?bn?是公比为2的等比数列，且111??1??11?1??1??1??????2??1???????????21??????2

a1a2an?nn?1???n?1???2??23?a2?b2?a3?b3?b4?a4． （1）证明：a1?b1；

（2）求集合kbk?am?a1,1?m?500中元素个数．

【答案】（1）证明见解析；

（2）9．

【解析】

【分析】（1）设数列?an?的公差为d，根据题意列出方程组即可证出；

（2）根据题意化简可得m?2k?2，即可解出．

【小问1详解】

???a1?d?2b1?a1?2d?4b1da设数列?n?的公差为d，所以，?，即可解得，b1?a1?，2?a1?d?2b1?8b1??a1?3d?所以原命题得证．

【小问2详解】

由（1）知，b1?a1?dk?1，所以bk?am?a1?b1?2?a1??m?1?d?a1，即2k?22k?1?2m，亦即m?2??1,500?，解得2?k?10，所以满足等式的解k?2,3,4,?,10，故集合?k|bk?am?a1,1?m?500?中的元素个数为10?2?1?9．

4.（2022·北京卷T21） 已知Q:a1,a2,?,ak为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的中存在n?{1,2,?,m}，在Qai,ai?1,ai?2,?,ai?j(j?0)，使得ai?ai?1?ai?2???ai?j?n，则称Q为m?连续可表数列．

（1）判断Q:2,1,4是否为5?连续可表数列？是否为6?连续可表数列？说明理由；

（2）若Q:a1,a2,?,ak为8?连续可表数列，求证：k的最小值为4；

（3）若Q:a1,a2,?,ak为20?连续可表数列，且a1?a2???ak?20，求证：k?7．

【答案】（1）是5?连续可表数列；不是6?连续可表数列．

（2）证明见解析．

【解析】

（3）证明见解析．

【分析】（1）直接利用定义验证即可；

（2）先考虑k?3不符合，再列举一个k?4合题即可；

（3）k?5时，根据和的个数易得显然不行，再讨论k?6时，由a1?a2???a6?20可知里面必然有负数，再确定负数只能是?1，然后分类讨论验证不行即可．

【小问1详解】

a2?1，a1?2，a1?a2?3，a3?4，a2?a3?5，所以Q是5?连续可表数列；易知，不存在i,j使得ai?ai?1???ai?j?6，所以Q不是6?连续可表数列．

【小问2详解】

若k?3,设为Q:a,b,c,则至多a?b,b?c,a?b?c,a,b,c，6个数字，没有8个，矛盾；

当k?4时,数列Q:1,4,1,2，满足a1?1，a4?2，a3?a4?3，a2?4，a1?a2?5，a1?a2?a3?6，a2?a3?a4?7，a1?a2?a3?a4?8，

?kmin?4．

【小问3详解】

Q:a1,a2,?,ak，若i?j最多有k种，若i?j，最多有C2k种，所以最多有k?k?1?种，

k?C?22k若k?5，则a1,a2,…,ak至多可表5?5?1??15个数，矛盾,

26(6?1)?21个数，

2从而若k<7,则k?6，a,b,c,d,e,f至多可表而a?b?c?d?e?f?20，所以其中有负的，从而a,b,c,d,e,f可表1~20及那个负数（恰

21个），这表明a~f中仅一个负的，没有0，且这个负的在a~f中绝对值最小，同时a~f中没有两数相同,设那个负数为?m(m?1)

，

则所有数之和?m?1?m?2???m?5?m?4m?15，4m?15?19?m?1，

?{a,b,c,d,e,f}?{?1,2,3,4,5,6}，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，

，

?1??1?2

（仅一种方式）??1与2相邻，

若?1不在两端,则\"x,?1,2,__,__,__\"形式， 若x?6，则5?6?(?1)（有2种结果相同，方式矛盾），

?x?6，

同理x?5,4,3

，故?1在一端，不妨为\"?1,2,A,B,C,D\"形式，

若A?3,则5?2?3

（有2种结果相同，矛盾），A?4同理不行，

A?5，则6??1?2?5

（有2种结果相同，矛盾），从而A?6，

由于7??1?2?6,由表法唯一知3,4不相邻,、

故只能?1,2,6,3,5,4，①或?1,2,6,4,5,3，②

这2种情形，

对①：9?6?3?5?4，矛盾，

对②：8?2?6?5?3，也矛盾，综上k?6

?k?7．

【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为m?可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从1到m中间的任意一个值．本题第二问k?3时，通过和值可能个数否定k?3；第三问先通过和值的可能个数否定k?5，再验证k?6时，数列中的几项如果符合必然是{?1,2,3,4,5,6}的一个排序，可验证这组数不合题．

5.（2022·浙江卷T20）

已知等差数列?an?的首项a1??1，公差d?1．记?an?的前n项和为Snn?N???．

（1）若S4?2a2a3?6?0，求Sn；

（2）若对于每个n?N?，存在实数cn，使an?cn,an?1?4cn,an?2?15cn成等比数列，求d的取值范围．

3n2?5n【答案】（1）Sn?(n?N?)

2（2）1?d?2

【解析】

【分析】（1）利用等差数列通项公式及前n项和公式化简条件，求出d，再求Sn；

(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求d的范围.

【小问1详解】 因为S4?2a2a3?6?0，a1??1，

所以?4?6d?2??1?d???1?2d??6?0，

所以d2?3d?0，又d?1，

所以d?3，

所以an?3n?4，

所以Sna1?an?n3n2?5n?，

??22【小问2详解】

因为an?cn，an?1?4cn，an?2?15cn成等比数列，

所以?an?1?4cn???an?cn??an?2?15cn?，

2?nd?1?4cn?2???1?nd?d?cn???1?nd?d?15cn?，

2cn?(14d?8nd?8)cn?d2?0，

由已知方程cn?(14d?8nd?8)cn?d?0的判别式大于等于0，

所以???14d?8nd?8??4d2?0，

所以?16d?8nd?8??12d?8nd?8??0对于任意的n?N?恒成立，

?所以???n?2?d?1?????2n?3?d?2???0对于任意的n?N恒成立，

222当n?1时，???n?2?d?1?????2n?3?d?2????d?1??d?2??0，

当n?2时，由?2d?2d?1??4d?3d?2??0，可得d?2

当n?3时，???n?2?d?1?????2n?3?d?2???(n?3)(2n?5)?0，

又d?1

所以1?d?2