第二十一届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答

2024年3月22日发(作者：江淮货车4米2新车报价)

２０１８年第５７卷第４期数学通报

５３

第二十一届北京高中数学知识

应用竞赛决赛试题及参考解答

２０１８年３月２５日

一、大学生张某，出行喜欢用共享单车，日常若用Ｃ公司的车，大体认为在４．５个月的周

情况是周一到周五，每天要从宿舍到教学楼，骑行期里，可以免单４．５周，计费的学习日不超过

两个往返，每个单程用时１０分钟；周末和国假回１５．５×５≈７８天，周末加国假不超过１５个，约为

家（连续假日时，只需往返一次），从宿舍到家单程需付费不超过：７８×４＋１５×４—３７２（元）；

骑行要５０分钟．有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四家共享单车公若用Ｄ公司的车，约需付费：

司，其收费规则如下：

下３８８×ｌ＋萼Ｘ

厶

２：２１３（元）．

厶

公司

计费

付费优惠

综上所述，选用Ｄ公司的车最省钱，也就是

Ａ

０．５元／次没有

最划算．另外，如此高频地用自行车，建议购置一

Ｂ

１元／次

周末和国假骑行免费

辆普通自行车可以进一步降低骑行成本．

每月可以抽到一张奖券，用此券免费不计

Ｃ

１元／次

二、马尔萨斯是十八世纪知名的人口学家，

次连续骑行一周

１７９８年在论文《关于人口学原理》（Ｅｓｓａｙ

ｏｎ

ｔｈｅ

Ｄ

１元／次

每骑行付费一次，下次骑行免费

Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ

ｏｆ

Ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ）中阐述了这样的观点：

其中，使用半小时为一次；使用不足半小时，按一

“如果一个国家的人口以几何级数无限制地增长，

次计费．

很快就会有几百万人因缺乏食物而无法生活”．文

如果不考虑押金和服务等因素，仅从用车付

中又说：“假设人口数每２５年翻一番，而且农产品

费的角度，且只使用一个公司的单车，你认为张某

在第一个２５年翻倍，随后就以算术级数连续增

在这个学期（２月２６Ｅｔ到７月１３日）日常情况

加．经过一百年，人口数就会增加到１１２００万．但

下，用哪个公司的共享单车最划算？说明理由．

是生活保障条件仅仅能够维持３５００万人的生活，

解这个学期有２０周，１９个周末（含三天国

这时将有７７００万人完全没有生活来源．这是一个

假清明、五一，端午），不足半小时的次数有（２０×５

非常令人震惊的局面”．

—３）×４—３８８个，还有１９×２—３８个５０分钟（回

对于“人口数每２５年翻一番”这个假设，四十

家、返校）的单程．对此，

七年后，比利时学者威尔霍斯特于１８４５年使用美

若用Ａ公司的车，约需付费：

国１７９０年至１８４０年这五十年的人口普查数据

３８８×０．５＋３８×１—２３２（元）；

（见表１）进行了验证．后来美国数学家佩尔等人

若用Ｂ公司的车，约需付费：

于１９２０年又继续给出了其后从１８５０年至１９１０

３８８×１＝３８８（元）；

年这六十年的人口普查数据（见表２）．

表１美国１７９０年至１８４０年的人口普查数据

年代

１７９０１８００１８１０１８２０１８３０

１８４０

人口数

３，９２９，８２７５，３０５，９２５７，２３９，８１４９，６３８，１５Ｉ

１２，８６６，０２０１７，０６２，５６６

万方数据

５４

数学通报

表２美国１８５０年至１９１０年的人口普查数据

２０１８年

第５７卷第４期

年代

１８５０１８６０１８７０

人口数

２３，１０１。８７６３１，４４３。３２１

３８，５５８，３７１

请你根据这两个表，用简单的计算检验一下

这１２０年间，马尔萨斯关于人口数２５年翻一倍的

假设是否正确．

解数据全部是每隔十年有一个观测值，要

验证２５年人口数是否翻一倍，就需要有间隔为五

年的数据．为此我们在每相邻的两个观测值之间

插入这两个观测值的平均数作为这个期间第五年

的人口数，于是就得到下表所列的数据．表中第三

列给出了各年在２５年后人口数的增长率，如表中

第三列中的第一个数１．１５就是从１７９０年到

１８１５年人口数的增长率，１．１５—８４３８９８２÷

３９２９８２７—１．由此可见，在１８７５年之前美国人口

的２５年增长率在１．０５左右，可以认为每２５年翻

一倍．马尔萨斯的假设是成立的．但是在１８７５年

以后随着人口数的增长，人口数的增长率在不断

地降低，到１９００年以后人口的２５年增长率已经

低于０．７，马尔萨斯关于２５年人口翻倍的假设就

不再成立了．

Ｚ５年２５年

年代人口数年代

人口数

增长率

增长率

１７９０３，９２９，８２７１８５５２７，２７２，５９８１．１１

１７９５４，６１７。８７６１８６０３１。４４３。３２１１．１０

１８００

５。３０５．９２５

１８６５

３５，０００，８４６１．０５

１８０５６，２７２，８６９１８７０３８，５５８，３７１０．９２

１８１０

７，２３９，８１４

１８７５４４，３５７，０７７Ｏ．９２

１８１５

８，４３８，９８２

１．１５１８８０

５０，１５５，７８３

０．８４

１８２０

９，６３８，１５１

１．０８１８８５

５６，５５１，７４８

Ｏ．７９

１８２５

１１，２５２，８５０

１．１２１８９０６２，９４７，７１４Ｏ．７９

１８３０

１２，８６６，０２０

１．０５１８９５

６９，４７１，１４４

０．８０

１８３５１４。９６４２９３１．０１１９００７５，９９４，５７５

Ｏ．７１

１８４０１７，０６２，５６６１．０２１９０５８３，９８３，３８７Ｏ．６７

１８４５２０．０８２．２２１１．０８１９１０９１，９７２，２００Ｏ．６３

１８５０

２３，１０１，８７６

１．０４

三、现有一种报警器，经测试，当灾难来临时

它报警的概率是０．９９９９，当没有发生灾难时它不

报警的概率是０．９９８．

使用这种报警器，可能会产生两种错误：一是

因灾难来临时它没有报警，导致发生了灾难没有

万方数据

１８８０１８９０１９００１９１０

５０，１５５，７８３

６２。９４７．７１４

７５，９９４，５７５９１，９７２，２００

抢救，二是因没有发生灾难它报警，导致无谓地采

取了抢救措施．这两种错误都会造成损失．不难看

出，若只有一个报警器，发生这两种错误的概率分

别是０．０００１和０．００２．

由于无法改善报警器的质量，为了降低这两

种错误发生的概率，人们试图采取安装多个报警

器的办法．

（１）如果安装两个报警器，可以有两种抢救方

案：一种是只要有报警器报警就采取抢救措施；另

一种是只有当两个报警器同时报警时，才采取抢

救措施．请说明，无论哪一种方案都无法同时降低

两种错误发生的概率．

（２）如果安装三个报警器，能否设计一种方

案，使得两种错误发生的概率都会降低．如果能，

请给出具体的设计；如果不能，请说明道理．

解（１）对于方案１，只要有报警器报警就采

取抢救措施．即只有两个报警器都不报警，才不会

去抢救．

当灾难发生时，两个报警器都不报警的概率

是０．０００１２＜Ｏ．０００１．也就是说，发生灾难不能及

时抢救的概率降低了，比原来只有一个报警器时

要好．

当灾难不发生时，两个报警器都不报警的概

率是０．９９８２，则此时至少有一个报警器报警的概

率是１—０．９９８２＞１—０．９９８—０．００２，因此，此时

去抢救的概率大于０．００２．也就是说，不发生灾难

时，却出去抢救的概率增大了，不如原来只有一个

报警器时好．

对于方案２，只有当两个报警器同时报警时

才采取抢救措施．

当灾难发生时，两个报警器都报警的概率是

０．９９９９２＜０．９９９９．也就是说，发生灾难去抢救的

概率降低了，不如原来只有一个报警器时好．

当灾难不发生时，两个报警器都报警的概率

０．００２２＜Ｏ．００２．也就是说，不发生灾难而去抢救

的概率，比原来只有一个报警器时低了．

（２）分别讨论不同的方案．

第一个方案：３个报警器都报警才采取抢救

２０１８年第５７卷第４期

数学通报

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措施．

此时，当灾难发生时，３个报警器都报警的概

率是０．９９９９３＜０．９９９９．即发生灾难去抢救的概

率不如一个报警器时好．

第二个方案：３个报警器中，只要有一个报警

器报警就采取抢救措施．

此时，当灾难不发生时，只有在３个报警器都

不报警时，才不会去抢救．由于３个报警器都不报

警的概率是０．９９８３，因此，灾难不发生而去抢救

的概率是１—０．９９８３＞１—０．９９８—０．００２，不如一

个报警器时好．

第三个方案：３个报警器中，不止一个报警器

报警时才采取抢救措施．

当灾难发生时，如果３个报警器都不报警或

其中只有一个报警时，才不会采取抢救措施．这些

事件发生的概率是０．０００１

３＋３×０．９９９９×

０．０００１２

ｄＯ．０００１．换句话说，灾难发生时，没采取

抢救措施的概率比原来只有一个报警器的情况

要小．

当灾难不发生时，不止一个报警器报警，会采

取抢救措施．这些事件发生的概率是０．００２３＋３

×０．９９８×０．００２２ｄＯ．００２．换句话说，当灾难不发

生时，采取抢救措施的概率比原来只有一个报警

器的情况要小．

这表明，采取第三个方案会比只用一个报警

器要好．

四、我国北方的很多城市街道交织成格，行人

和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象涵义是直

角坐标系内平行于两条数轴的条条直线．于是，我

们定义城市内街道上两点Ｐ（ｚ，，Ｙ。）、Ｑ（ｘ。，Ｙ：）

之间的距离为ｄｍ＝Ｉ

Ｘ：一ｚ。Ｉ＋Ｉ

ｙ。一Ｙ。Ｉ．并称

之为曼哈顿距离（简称为曼距）．ｄｍ是Ｐ、Ｑ之间

所有连线（网格线）长度的最小值．

在城市里有一个地区，其中的相邻道路恰可

近似地用过直角坐标系内格点（坐标为整数的点）

的平行线表示，如图１．

（１）求到点ｏ（０，０）的曼距为５的点构成的

图形．

（２）该地区内有两个火警高危点Ａ（一３，

一２）和Ｂ（２，２），为了这两处的安全，预在某个格

点位置设立一个消防站（格点位置四通八达），问：

这个消防站设在哪儿好？

万方数据

，。

ｌ

。１Ｉ●ｊ一‘Ｉ一：一１ｉ一１Ｉ

—Ｊ一▲一Ｌ一●．Ｊ．Ｊ

—ｏ一●一■一Ｈ一＋

。１。ｔ－ｒ－Ｉ－１一＇

一１一ｒ—ｒ一广１一Ｔ

ｏ

：一：一ｊ一：一：一坦一ｊ一：一：一：一ｊ一：ｉ

一’－十十Ｉ－■一’

一１一ｒ—ｒ—ｌ一１一Ｔ

—ｊ一÷一ｊ一！一ｊ一；

圈１

解（１）设点Ｐ（ｚ，ｙ）满足ｄｐｏ—Ｉｚ一０Ｉ＋

ｌｙ—ｏ｜一５，由于城市道路上的点Ｐ（ｘ，ｙ）中的，２７

和Ｙ至少一个是整数，所以当ＩｚＩ＋ＩＹＩ一５时，Ｘ

和了均是整数，即Ｐ（ｘ，ｙ）为格点．穷举可得Ｐ点

的集合为｛（０，一５），（１，一４），（２，一３），（３，

一２），（４，一１），（５，０），（４，１），（３，２），（２，３），

（１，４），（０，５），（一１，４），（一２，３），（一３，２），

（一４，１），（一５，０），（一４，一１），（一３，一２），

（一２，一３），（一１，一４））），对应的图形是顶点为

（０，一５）、（５，０）、（Ｏ，５）、（一５，０）的正方形上的

所有格点．

（２）按照常识，消防队离火警高危地点越近越

好，但一个消防站要兼顾Ａ、Ｂ两点，可以认为好

的消防站位置是指：消防站到Ａ、Ｂ两点的曼距之

和最小，在此基础上，消防站与Ａ、Ｂ两点的曼距

之差尽量地小．

由曼距的定义，Ａ（一３，一２）和Ｂ（２，２）两点

之间的曼距

ｄＡＢ—ｌ２一（一３）Ｉ＋Ｉ２一（一２）Ｉ一９，

ｙ

—ｊ—ｉ—ｒ一：一？一ｊ

一４一●Ⅷ－－Ｉ－－一●

．Ｊ．‘一Ｌ一●一Ｊ一』

｝－：一｛一÷一◆一卜．

’：一协■一：一：

‘１。ｒ。ｒ‘Ｉ’１’Ｔ

一

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．ｊ—ｉ—Ｌ一：一ｊ一：ｉ

一’一●一Ｐ一…一●

；．：一摹；一；一；．

一１一ｒ—ｒ—Ｉ一１一－ｒ

一－ｊＪ．－Ｊ：．。－：Ｌ．－－：Ｉ一－ｊＪ－．！

图２

将消防站的位置记作Ｍ，于是ｄｍ＋ｄⅧ≥９．

以Ａ、Ｂ为对角的矩形上及矩形内的任意格点为

Ｍ，都有ｄⅢ＋ｄⅧ＝９，如图２．这个矩形外的任一

格点Ｐ都是ｄＰＡ＋ｄＰＢ＞９．

ｎ

希望ｄ心一ｄ砌一詈，但是，由于格点之间的