刚体题解

2023年12月14日发(作者：1800万的劳斯莱斯幻影)

第二部分刚体力学

1. 两个质量均为m，半径均为R的球，一个空心，一个实心。从粗糙的斜面上同时由静止无滑的滚下。问是否同时到底端，那个先到？摩擦力是否做功？

解：定量计算那个球先到底端，因为

无滑动，所以摩擦力不做功，机械能守恒。

动能：?mv2?J?2?(m?2365121212J2)v?mgh

R2h空心球：J1?mR2,?v12?gh

2?实心球：J1?mR2,?v22510gh

7结论v2?v1，实心球先到。

2. 如图所示，长为L的均匀直棒，质量M，上端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一子弹m，一水平速度v0射入杆的悬点下距离为d处而不复出。

问：（1）一子弹和杆为系统，动量是否守恒？

（2）作用力是水平还是竖直？

（3）此力可能为零吗?

(4)子弹射入过程什么量守恒?

解：（1）否，原因：对轴有作用。

（2）都有

mv0dO（3）由于击中点，位置不同，水平分力有可能为零。

（4）对轴的角动量守恒。

四基本能力训练题2.计算题与证明题

3. 悬挂于圆上一点的圆环，叫做圆环摆。圆环摆的一个奇特的性质，是把它截去任意一段圆弧，其周期不变。试证明之。

解：整个圆环直径的两个端点是对称的，互为倒逆点。故其等值摆长l0=2R（R为半径）。如图所示。在圆环上截去一段圆弧，令剩下一段的质心为C，OC=rc，设其质量为m。利用平行轴定理，绕圆心的转动惯量为I0=Ic+m(R-rc)2。另一方面，对于圆心，圆弧上所有的点都等远，故其回转半径为R，I0=mR2，所以

I0=Ic+m(R-rc)2=mR2

由此解得Ic= rc(2R -rc)

按式，l0?rc?Icmrc(2R?rc)?rc??2R

mrcmrcOmRCl0O?亦即，这等值摆于整个圆环的相同，从而周期为

T?2?2R

g与截去多少无关。

五．综合能力与知识拓展训练题

1. 设计题

本题内容：日常应用题型：设计类考察知识点：力矩。主要培养同学创新能力

利用力学原理可以称量人体各部分的重量，请设计一种测量人小腿（从膝关节至足）重量方案.(已知人小腿重心到膝关节之距为小腿长的43%)

设计方案:

让受试者水平伏卧与木板AB上,木板与人同长，板的A端固定，B端置于磅秤上，由磅秤测的支撑力F的大小。然后将一条小腿竖直举起，在由磅秤测得木板B端的支承力F’的大小。在图中，设人体重心在P点，人重量为G，对点的力臂为R；AB=L;木板自重为G’，木板重心至点A的距离为R’；竖直举起的小腿重力GL，对于A点的力臂为R1；2条小腿均水平放置时，对点A的力矩平衡方程为

FL-GR-G’R’=0

当1条小腿竖直举起时，与前不同的只是写力矩平衡方程时，要减去原水平放置小腿的重力矩，再加上现竖直举起的小腿重力矩，这是对A点的力矩平衡方程为

F’L-GR-G’R’+GLR1-GLR2=0

式（1）减去式（2）得

GL?(F?F?)L

R1?R2有解剖学可知R1-R2=0.43l，这里l为小腿长亦即从膝关节到踝关节的距离。以此代入式（3）可得小腿的重量

GL?(F?F?)L

0.43l可见，通过测量小腿长及身高，就可由磅秤间接测得一条小腿的重量。利用类似方法还可测量人体其他部分的重量。

2 空车与重车

在铁路的调车场上常把车辆从一定高度沿斜坡轨道向下溜放到平地上，问装满货物的车辆（重车）和不装货物的车辆（空车）那个先到？

斜面长为s，阻力系数为μ。因斜坡倾角很小，可近似认为车对坡的正压力等于车重，如果能把车辆看作质点（忽略轮子的转动），由质点的功能原理，有

112Mv2?Mv0?Mgh??Mgs

222考虑到v2?v0?2as，可解得车辆溜方时的加速度为

ha?g(??)

s显然与车辆的质量无关，故重车和空车同时到达。

但是车轮相当重，车轮的滚动不能忽略，把车辆看成质点会产生不小的偏差。

设车辆有8个轮，车轴连同左右二个车轮叫做轮对，每个轮对质量为m，车轮半径为R，轮对对车轴得回转半径为ρ（即转动惯量I=mρ2），车辆总重量为M，摩擦系数为μ，车辆作平面平行运动，其功能应为车身与8个车轮一起平动的动能及四轮对分别绕自身轴转动的动能之和，即

Ek?11Mv2?N(I?2)

22m?2式中，v?R?，I?m?，N=4.若定义车辆的回转质量系数??N，MR22那么车辆的动能可记作

1m?2212Ek?M(1?4)v?M(1??)v

222MR亦即考虑车轮滚动后，车辆动能相当于一个质量为M(1??)的质点动能，称M??M(1??)为车辆的有效质量。这样重车和空车从调车场溜放时，仍可用质点的功能原理

112M(1??)v2?M(1??)v0?Mgh??Mgs

22解得

a?h/s??g

1??重车M较大，?较小，故重车获得加速度a比空车大，所以重车先到。

3 麦克斯韦轮

质量M=0.400千克，半径R=0.060米，厚度d=0.010米的均匀扁圆柱体用两根等长的细线悬挂，细线系在穿过圆柱中心半径为r的轴上（细线的粗细和质量以及轴的质量皆可忽略不计），这装置称为麦克斯韦轮（参见图）。将细线绕在轴上，使圆柱体的质心提高距离H=1.00米，然后由静止释放，缠绕的细线展开来，待圆柱体的质心到达最低点后，圆柱重新升高。

（1）求当圆柱体的质心下降s=0.50米时，其动能

为多少？其中转动动能占百分之几？

（2）若所用细线能承受的最大张力为10.0牛顿，问在圆柱绕过程中M 线是否会断？

解：（1）麦克斯韦轮作平面平行运动，其下降过程中机械能守恒，有

MgH?Mg(H?s)?11Mv2?I?2 (1)

22式中，v和?分别为圆柱质心的速度及绕过质心轴转动的角速度。v=r?,I=MR2/2。由式解得，圆柱体的动能及角速度分别为

Ek?MgH?Mg(H?s)?Mgs?1.96J

??4gs (2)

22R?2r故圆柱体的转动动能Ek转12MgsR2?I??2?1.95J

2R?2r2Ek转1.95??99.5%

Ek1.96可见，转动动能比平动动能大得多。

（2）求细线中张力。由质心运动定理，有

Mg?2T?Ma (3)

式中，a为圆柱质心下降的加速度， T为圆柱下降时每根细线中的张力，设β为圆柱转动的角加速度，由转动定律，有

1a22Tr=Iβ=2MRr

(4)

联立求解式(3)与式(4)，有

2gra?2R?2r2MgR2

T??1.95N

222(R?2r)A可见张力T与圆柱质心下降（或上升）的距离无关，为常数。

在圆柱下降1.00m后转而上升的过程中可视为圆柱质心绕图中的点A作圆周运动，且转过π弧度。质心在最低

点时，式(2)中的s应代之以

H+R，转折过程圆柱体转动的角速度??及圆柱质心的加速度a?分别为

???4g(H?R)

R2?2r24g(H?R)r

22R?2ra????r?细线中张力为

T??M(g?a?)/2?6.90N?10N

所以，细线在圆柱下降1.00m时回转上升过程中不会断。

经进一步计算可知，若要圆柱回转上升而细线保持不断，圆柱质心提高的距离的最大允许值约为1.23m。

台球

质量为M，半径为R的台球，被打出后在滑动摩擦系数为μ的台球桌面上以速度v0向前滑行而不滑动。问求在桌面上滑行多远后开始滚动而不滑动？此时球心的速度多大？

（提示：击球时平均冲力f与打击时间t的乘积应等于MvC，而平均冲力的力矩f(h-R)与打击时间t的乘积应等(2/5)MR2ω，纯滚动时vC=ωR）

解：选初始速度v0的方向为x轴正向，开始时球与桌面的接触点为坐标系原点，这时vC(0)= v0, ω(0)=0。由于竖直方向无运动，所以正压力与重力大小相等N=Mg。

t>0时无滚动至滑动过程中，球与桌面接触点A处速度vA=vC，也沿x轴正向，故所受摩擦力f沿x轴负向，由质心运动定理有f=-μN=MaC即aC=-μg。进而求得，滑动和滚动同时存在时质心及接触点A的速度分别为

vC?v0??gt

vA?vC??R

其中，ω是t时刻球绕过质心C的水平轴转动的角速度。由转动定律，有

fR=Iβ (I=MR2 f=μMg)

解得??5?g

2R52亦即

???(0)??t??t?5?gt

2R57vA?v0??gt??gt?v0??gt

22可见，当t?2v0时vA=0，以后球只滚动，不再滚动。

7?g球由只滑动不滚动到开始滚动不滑动所走的距离为

22v02v0212v0112

x?v0t?aCt?v0()?(??g)()?27?g27?g49?g此时质心的速度为

2vC?v0??gt?v0?v0?v0

7这里有个有趣的问题：如果在台球时，用球棒沿水平方向瞄准台球球心上方某点打台球，以使台球一开始就作纯滚动。读者不难证明，击球点的高度h应该等于7R/5。

5 溜溜球

溜溜球（又名“哟哟”）是20世纪90年代风行世界的小玩具。它是在一个扁圆柱体的中间圆周槽内紧绕一细线构成的。当溜溜球从静止释放，下降时越转越快；而当绳子完全放开后，溜溜球会从最低点自动上升。若溜溜球质量为M，半径为R，转动惯量I=MR2/2，槽圆周半径为b(b

解:设细线的总长度为H,其质量可忽略.溜溜球下降过程中球受到线的拉力T以及重力G,如图所示.

bCRO?TO?AO?TACGbbCGxxxa b c

开始时(t=0),vC(0)=0,ω(0)=0,t>0时,其质心的平动及绕圆柱体轴线转动的方程分别为

Mg?T?MaC (1)

Tb?1MR2? (2)

2由于圆周槽与悬线切点A的瞬时速度为零，故有vC??b及

2bR22b2??gT?Mg2a?g

C2b2?R22b?R22b2?R2当溜溜球质心的高度下降H时，其质心的速度vC及溜溜求转动的角速度?分别为vC?2aCH?2bgH

??2??

2b2?R2?是质心下降H时，式中，溜溜球转过的弧度，由于它转的圈数为H，2?b故??2?HHH4H?，有??2???2??g2

2?bbb2b?R2当绳子完全放开后，溜溜球质心的速度方向向下，由于绳不能在伸长，所以，这是球便从如图(b)的位置变为图(c)的位置然后开始自动上升。在溜溜球从下降变为上升过程的转变点处其质心速度为零。这时球绕???2b2?R2质心转过，所需的时间为?t?。这?t时间内溜溜球?22?4gH动量的增量等于外力的冲量，在方向的方程为

M(0?vC)?(Mg?T?)?t

式中，为溜溜球质心下降到最低点后，时间内细线的平均张力。由上式解得

T??Mg???Mvc8Hb?Mg?1??

22?t?(2b?R)??在溜溜球上升的过程中，质心平动及绕轴转动的方程为

?Tb?I?

Mg?T?MaC

aC??b?

R2有以上三式解得，溜溜球所受拉力大小为T?Mg2与它R?2b2下降时相同。

6 太阳系的角动量

太阳系的角动量下图表示太阳系的几个成员的角动量，试以海王星为例，计算出其角动量，并与图中数据进行比较。（海王星的轨道可近似认为是圆形，太阳到海王星的平均距离r=5?1012米，海王星绕太阳的周期T=5?109秒，海王星的质量M=1?1026千克，海王星的半径R=2.4?107米，自转周期T?=6?104秒）

图：太阳系中以太阳为中心的角动量分布。符号

? 表示

水星、金星、地球和火星这四个行星角动量之和。

190太阳系的角动量（单位：

克

厘米

秒）

48217817木星土星天王星

6太阳

0.526海王星

1.4冥王星

?解：（1）海王星绕太阳的角动量为