2022-2023学年辽宁省大连市滨城高中联盟高二年级下册学期期中数学试题

2024年1月2日发(作者：宾利车什么价位)

2022-2023学年辽宁省大连市滨城高中联盟高二下学期期中数学试题一、单选题1．两点分布也叫0?1分布，已知随机变量X服从参数为0.5的两点分布，则下列选项中不正确的是（）B．P?X?1??0.5C．E?X??0.5D．D?X??0.5A．P?X?0??0.5【答案】D【分析】由两点分布的定义即可判断A、B选项；由期望和方差公式即可判断C、D选项.【详解】由参数为0.5的两点分布知P?X?0??P?X?1??0.5，故A、B正确；E?X??0.5?0?0.5?1?0.5，C正确；D?X??0.5??0?0.5??0.5??1?0.5??0.25，D错误.故选：D.2．用数学归纳法证明“1?22111*????n?nn?N,n?1”的过程中，从n?k(k?N*,k?1?到232?1??n?k?1时，左边增加的项数为（A．2k【答案】AB．2k?1）C．2k?1D．k【分析】运用数学归纳法，分别给出n?k和n?k?1时的表达式，来确定增加的项数【详解】解：n?k时，可得：1?111????k?k232?11111??????k?1，n?k?1时，可得：k?1232?1故增加了2k?1?1?(2k?1)?2k项.故选：A3．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（A．12种【答案】B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2）B．24种C．36种D．48种

种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!?2?2?24种不同的排列方式，故选：B4．已知等比数列?an?的前3项和为168，a2?a5?42，则a6?（A．14【答案】DB．12C．6）D．3【分析】设等比数列?an?的公比为q,q?0，易得q?1，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列?an?的公比为q,q?0，若q?1，则a2?a5?0，与题意矛盾，所以q?1，?a11?q3?a1?96?a1?a2?a3??168?则?，解得?1，1?qq???42??a2?a5?a1q?a1q?425所以a6?a1q?3.??故选：D.5．设等差数列?an?，?bn?的前n项和分别是Sn，Tn，若A．C．651114a6Sn2n?，则?（Tn3n?7b5）B．1117D．3【答案】B【分析】先由等差数列的前n项和公式设出Sn，Tn，再按照a6S6?S5?直接计算即可.b5T5?T42【详解】由等差数列的前n项和公式满足An2?Bn形式，设Sn?kn?(2n)?2kn，则Tn?kn?(3n?7)?3kn2?7kn，故故选：B.a6S6?S52k?36?2k?2511???.b5T5?T43k?25?7k?5?3k?16?7k?4176．已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（）

A．0.01245【答案】DB．0.05786C．0.02865D．0.03745【分析】设出事件，利用全概率公式进行求解.【详解】用事件A，用事件C表示此人恰是色盲，则??A?B，B分别表示随机选1人为男性或女性，且A，B互斥，故P?C??P?A?P?CA??P?B?P?CB??故选：D7．某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（A．M?1?m?1011?70??0.490?0.037450202）C．Mm?1?m?10?1?m?10?1B．Mm?1?m?10?1?m?10?1D．Mm?1?m?10?1?m?10?1【答案】C【分析】由已知条件和分期付款公式列方程求解即可【详解】由已知条件和分期付款公式，可得9810a??1?m???1?m?????1?m??1??M?1?m?，??∴a?Mm?1?m?1010?1?m??1．故选：C8．已知数列?an?的前n项和为Sn，数列中的每一项an可取1或2，且an取1和取2的概率均为2，则S11能被3整除的概率为（A．131）C．3411024B．85256D．6832048【答案】C【分析】法一、依题意可设Pn为Sn被3整除的概率，所以Pn?1?式即可；法二、按古典概型得出数列?an??1?n?11?共有211种情况，讨论Sn能被3整除的4种情况计算即可.【详解】Sn被3除，有3种情况，分别为被3整除，余数为1，余数为2，设Pn为Sn被3整除的概率，所以Pn?1?11?1?1?1?Pn?，则Pn?1????Pn??，32?3?21?1?Pn?，构造新数列求得通项公211???又?P，1?0，则P133

n?11?11?11?1?所以，?Pn??是以?为首项，以?为公比的等比数列，有Pn???????，3?23?33?2?1?1?即Pn??????3?2?n?11?1?13411.?，所以P??????11??33?2?3102410法二：由古典概型可知，数列?an??1?n?11?共有211种情况，Sn能被3整除，有以下4种情况：①?an?中有10个1，1个2，有C11种情况；107②?an?中有7个1，4个2，有C11种情况；③?an?中有4个1，7个2，有C11种情况；4④?an?中有1个1，10个2，有C11种情况，1所以，Sn被3整除的概率为故选：C741C1034111?C11?C11?C11?2111024二、多选题9．下列命题正确的是（）?1?A．若随机变量X?B?100,p?，且E?X??20，则D?X?1??5?2?B．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D发生的概率分别为0.2、0.2、0.3、0.3，则A与B?C?D是互斥事件，也是对立事件C．一只袋内装有m个白球，n?m个黑球?m?2,n?m,m,n?N?，连续不放回地从袋中取球，直到*取出黑球为止，设此时取出了?个白球，P???2?n?m??A2?m?A3n??a??aL、?xn,yn?得到回归直线方程y??bx?，??bx?D．由一组样本数据?x1,y1?、?x2,y2?、那么直线y至少经过?x1,y1?、?x2,y2?、L、?xn,yn?中的一个点【答案】BC【分析】直接利用二项分布的期望与方差，互斥事件和对立事件的关系，排列组合，回归直线方程等相关知识对四个命题的真假判断.【详解】对于A：由X?B?100,p?，且E?X??20，可得100p?20?p?1，5

1?1??1?1所以D?X??100???1???16，则D?X?1??D?X??4，故A错误；5?5??2?4对于B：因为事件A、B、C、D彼此互斥，所以P?B?C?D??0.2?0.3?0.3?0.8，又P?A??0.2，所以A与B?C?D是互斥事件，也是对立事件，故B正确；对于C：依题意，??2表示“一共取出了3个球，且前两次取出的都是白球，第三次取出的是黑球”.mm?1n?m?n?m?Am??所以P???2???，故C正确；nn?1n?2A3n2对于D：回归直线方程一定过样本中心点?x,y?，但是不一定经过样本数据中的点，故D错误.故选：BC.10．江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N?38,7?，从停车场步行到单位要6分钟；江先2生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N?44,2的有（）2?，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.从统计的角度出发，下列说法中合理参考数据：若P(Z?N(?,?2)，则P(????Z????)?0.6826，P(??2??Z???2?)?0.9544，P(??3??Z???3?)?0.9974A．若8:00出门，则开私家车不会迟到；B．若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；C．若8:06出门，则开私家车上班不迟到的可能性更大；D．若8:12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到.【答案】CD【分析】对于A，由P(Z?59)?0.0013即可判断；对于BC，分别计算开私家车及乘坐地铁不迟到的概率即可判断；对于D，计算P(Z?38)?0.0013即可判断【详解】解：对于A，由题意得，当满足P(Z?59)?1?P(17?Z?59)1?0,9974??0,0013时，江先22生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，所以A错误；对于B，若8:02出门，①江先生开私家车，由题意得，当满足P(Z?52)?1?P(24?Z?52)?P(24?Z?52)?0.9772时，江先生开私家车不会迟到；2

②江先生乘坐地铁，由题意得当满足P(Z?48)?1?P(40?Z?48)?P(40?Z?48)?0.9772时，此时江先生乘坐地铁不会迟2到，此时两种方式，江先生不迟到的概率相当，所以B错误；对于C，若8:06出门，①江先生开私家车，由题意得，当满足P(Z?48)?P(Z?45)?1?P(31?Z?45)?P(31?Z?45)?0.8413,此时江先生开私家车不会迟到；21?0.5时，此时江先生乘坐地铁不会迟到，2②江先生乘坐地铁，由题意得，当满足P(Z?44)?此时两种方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，所以C正确；对于D，若8:12出门，江先生乘坐地铁上班，由题意得，当满足P(Z?38)?1?P(38?Z?50)?0.0013时，江先生乘坐地铁不会迟到，此时不迟到的可能性2极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，所以D正确故选：CD11．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（A．事件A1，A2为互斥事件C．P?B??25）B．事件B，C为独立事件D．P?CA2??34【答案】ACD【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB，由组合知识求得P(B)判断C，根据条件概率的定义求得P(C|A2)判断D．【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；由于是红球有3个，白球有2个，事件B发生时，两球同为白色或同为红色，2C32C5P(BC)3P(C)??2?，事件B不发生，则两球一白一红，P(C)?1，B,C不独立，B错；2C3?C2P(B)42C52C3?C222P(B)??，C正确；2C55事件A2发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件C才发生，所以P(C|A2)?3，D正确．4

故选：ACD．12．已知离散型随机变量X服从二项分布B?n,p?，其中n?N*,0?p?1，记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法正确的有（）1n?133n?355n?5A．a?Cnp(1?p)?Cnp(1?p)?Cnp(1?p)??B．p?1，且n为偶数时，a?b21时，a随着n的增大而增大2C．0?p?D．1?p?1时，a随着n的增大而减小2【答案】AC【分析】根据二项分布的概率公式判断A、C、D，根据组合数公式判断B.k【详解】因为X?B?n,p?，所以P?X?k??Cknp?1?p?n?k，k?n且k?N，1n?133n?355n?5对于A：由二项分布可知a?Cnp(1?p)?Cnp(1?p)?Cnp(1?p)??，故A正确；kn?k1?1?1?k?1??对于B，由p?时，X?B?n,?，则P?X?k??Cn???1???k?0,1,2,3,?,n?2?2??2??2?1?1??1?35n?1所以a????C1，?C?C????2??nnn??2?2??2?1?1??1?24n?1，b????C0?C?C????2??nnn??2?2??2?nnnn所以a?b，故B不正确，nnn??1?p?p]?1?p?p]????1?(1?2p)??对于C、D：a?，?2211?(1?2p)n1?(1?2p)n当0?p?时，a?，且为正项且单调递增的数列，222故a随着n的增大而增大，故C正确，11?(1?2p)n1?(1?2p)n当?p?1时，a?，且为摆动数列，故D不正确.222故选：AC三、填空题13．已知数列?2,a1,a2,?8成等差数列，?2,b1,b2,b3,?8成等比数列，则a2?a1的值为__________.b2

【答案】1/0.52【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到a2?a1??2及b2??4，求出答案.【详解】由题意得a2?a1??8???2???2，3因为?2,b1,b2,b3,?8成等比数列，设公比为q，22则b2??2???8??16且b2??2q?0，解得b2??4，a2?a1?21??.故b2?42故答案为：214．现将5名志愿者全部分派到A,B,C三个居民小区参加普法知识宣传，要求每个小区至少分派1人，并且志愿者甲必须安排到A小区，则不同的安排方法种数为__________.【答案】50【分析】分两种分组方式{3,1,1}、{2,2,1}讨论，各不同分组方式中讨论甲一人成组或与其它人成多人组安排到A小区，再安排其它人，应用组合排列数即可求安排方法种数.【详解】由题设，5名志愿者可有{3,1,1}、{2,2,1}两种分组方式，对于{3,1,1}分组方式，若甲一人成组安排到A小区，其它4人选出3人为一组，与剩余的一人成组安排到B,C小区，32所以共有C4A2?8种；1若甲在3人组，4人选出2人与甲成3人组安排到A小区，剩余两人每个人为一组安排到B,C小区，22所以共有C4A2?12种；对于{2,2,1}分组方式，若甲一人成组安排到A小区，其它4人两两成组安排到B,C小区，2C224C2所以2?A2?6种；A2若甲在2人组，4人选出1人与甲成2人组安排到A小区，从剩余3人选2人成组，与剩余的一人成组安排到B,C小区，122所以C4C3A2?24种；综上，共有8?12?6?24?50种.

故答案为：5015．如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5,?，记其前n项和为Sn，则S42的值为__________.【答案】2【分析】依题意可得S42??C2?C3?C4???C22???C2?C3?C4???C22?，根据组合数的性质计算可得.11112222【详解】依题意可得S42??C2?C3?C4???C22???C2?C3?C4???C22?222??2?3?4???22???C33?C3?C4???C22?22??2?3?4???22???C34?C4???C22??2??2?3?4???22???C322?C22??21??2?22??C323?252?1771?2023.2故答案为：202316．已知x,y,z?N?，且x?y?z?8，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则D(X)?________．【答案】1049【分析】求出X可能取值为1和2，分别求出事件总情况及X?1与X?2的情况，求出相应的概率，求出期望，利用D(X)?E?X2??[E(X)]22计算出答案.【详解】因为x?y?z?8，所以随机变量X可能取值为1和2，用隔板法可求得：事件总情况为C7种，X?1时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有C3?C4种；11

②三个数中有两个1，有C3种，111C3?C4?C35?所以X?1时，p1?，C7272X?2时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有C3种；②三个数中有两个2，有C3种，2C123?C3?所以X?2是，p2?，2C771252135292所以E(X)?1??2??，E(X)?1??4??777777D(X)?E?X2??[E(X)]2?故答案为：10．4910，49四、解答题17．在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于46；条件②：第4项与第7项的二项式系数相等；问题：在二项式(1?2x)n的展开式中，已知__________.(1)求展开式中二项式系数最大的项；n2n(2)设(1?2x)?a0?a1x?a2x???anx，求a1?a2?a3???an的值；(3)求(1?2x)5(1?3x)n?5的展开式中，按x的升幂排列的前三项.45【答案】(1)T5?2016x、T6??4032x(2)?2(3)1,2x,?26x2【分析】（1）根据所选条件，应用组合数方程求得n?9，由二项式的性质确定二项式系数最大的项即可；（2）赋值法分别求出a0?a1?a2?a3???a9、a0，即可求目标式的值；（3）利用二项式展开式通项写出常数项、含x的项、含x2的项，即可得结果.

012【详解】（1）选择①，因为Cn?Cn?Cn?46，解得n?9，6选择②，因为C3n?Cn，解得n?9，54554544展开式中二项式系数最大的项为T5?C9?1?(?2x)?2016x和T6?C9?1?(?2x)??4032x.9（2）由（1）知：令x?1，则a0?a1?a2?a3???a9?(1?2)??1，9令x?0，则a0?(1?0)?1，所以a1?a2?a3???an??1?1??2.050040（3）在(1?2x)5(1?3x)4的展开式中：常数项C5?1?(?2x)?C4?1?(3x)?1，含x的项C5?1?(?2x)?C4?1?(3x)?C5?1?(?2x)?C4?1?(3x)?2x，含x2的项：0402C5?15?(?2x)0?C24?1?(3x)?C5?1?(?2x)?C4?1?(3x)?C5?1?(?2x)?C4?1?(3x)??26x，所以，在(1?2x)5(1?3x)4的展开式中，按x的升幂排列的前三项是：1,2x,?26x2.*18．已知正项数列?an?满足a1?1，前n项和Sn满足2an?Sn?Sn?1n?2,n?N.??(1)求数列?an?的通项公式；?1?(2)求数列??的前n项和?nn?1??1,n?1?【答案】(1)an??2n?1,n?2??4(2)Tn?128?52n?3?S1,n?1【分析】（1）先根据an?Sn?Sn?1?n?2?求出数列?Sn?的通项公式，再根据an??求解S?S,n?2?nn?1即可；（2）利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）由2an?Sn?Sn?1可得2an?Sn?Sn?1，即2?Sn?Sn?1??Sn?Sn?1，因为an?0，所以Sn?0，则Sn?Sn?1?0，

2?Sn?Sn?1??Sn?Sn?1?Sn?Sn?1，1，21?所以Sn?Sn?1?又因为S1?1，所以数列?Sn?是以1为首项，2为公差的等差数列，n?1?Sn?,Sn2?n?1????，?2?2当n?1时，a1?S1?1，当n?2时，an?Sn?Sn?1??1,n?1?所以an??2n?1；,n?2??42n?1，4（2）当n?2时，Tn??1161??1??8???，anan?1?2n?1??2n?3??2n?12n?3?11114?111111???????8?????????a1a2a2a3a3a4anan?152n?12n?3??577941?128?1?8????，?5?52n?3?52n?3又因为T1?4128满足上式，所以Tn??.552n?319．社区是社会的基本单元，是连接城市?小区?家庭的重要桥梁.从百姓的衣食住行到政府的公共服务?社会治理，无不与社区的管理服务能力紧密相关.目前面临的问题是，粗放传统的社区管理服务已远远不能适应数字经济时代人民群众日益增长的生产生活需要.打造智慧共享?和睦共治的新型智慧社区，是提升社区居民的幸福感?提升城市管理水平?构建和谐宜居环境的必要途径.某社区为推进智慧社区建设，给居民提供了一款手机APP构建智能化社区管理服务模式.为了解居民对使用该APP的满意度，物业对小区居民开展了为期5个月的调查活动，统计数据如下：月份x不满意的人数y112580??a??bx?，并预测该小区8月(1)请利用所给的数据求不满意的人数y与月份x之间的回归直线方程y份对这款APP不满意的人数；2求P?27???47?的值；(2)工作人员发现使用这款APP的居民的年龄?近似服从正态分布N?35,4?，(3)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人（其中女性人数占60%，女性中使用APP的人

数为48人，男性中使用APP的人数占男性人数的填写下表：使用APP女性人数男性人数总计不使用APP总计11），调查是否使用这款APP与性别的关系，请20据此判断能否有99%的把握认为是否使用这款APP与性别有关.??参考公式：b?xyi?1nii2i?nx?y?nx2?xi?1n?；??y?bx,a2附：随机变量??N??,??，则P????????????0.683,P(??2??????2?）n(ad?bc)2(其中n?a?b?c?d).?0.954,P???3??????3???0.997；??a?bc?da?cb?d????????2??P??2?k?k0.12.7060.053.8410.016.6350.0057.8790.00110.828???9x?127，55人【答案】(1)y(2)0.9755(3)列联表见解析，有?，a?，得出回归直线方程，由方程进行估计；【分析】（1）由表中数据计算b（2）由3?原则结合对称性计算概率；（3）填写列联表，进行独立性检验即可.【详解】（1）由表中的数据可知，x?1?2?3?4?5120?105?100?95?80?3,y??100，55?xyi?155ii?1?120?2?105?3?100?4?95?5?80?1410?xi?12i?12?22?32?42?52?55

??1410?5?3?100??9，故a??100?(?9)?3?127，??y?bx所以b255?5?3???9x?127，所以，所求的回归直线方程为y???9?8?127?55（人）令x?8，则y故预测该小区8月份对这款APP不满意的人数为55人.（2）依题意得0.997?0.954P?27?x?47??P?35?2?4?x?35?3?4?0.9755.??0.954?2（3）2?2列联表如下：使用APP女性人数男性人数总计2不使用APP121830总计6100?(48?18?22?12)250????7.143，60?40?70?3072又因为1?99%?1%，而且查表可得P??0.01?6.635，??由于7.143?6.635，所以有99%的把握认为是否使用这款APP与性别有关.20．为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；(2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望E?X?；(3)若志愿活动共有卫生清洁员?交通文明监督员?科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为2；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为2.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为Y，求Y的期望E?Y?.【答案】(1)892311(2)分布列见解析，E?X??

(3)E?Y??13【分析】（1）根据条件概率公式可求出结果；（2）根据超几何分布概率公式可求出结果；（3）先求出一名女生和一名男生参加活动可获得工时的数学期望，再根据期望的性质可求出结果.【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件B.112C1C1834C24C2?C2?,PA????则P?AB??，22C615C658P?AB?158??.所以P?B|A??39P?A?52?kCk2C4(k?0,1,2)，（2）依题意知X服从超几何分布，且P(X?k)?2C61C2C1C228144?C2P?X?0??2?,P?X?1???,P?X?2??2?，22C65C615C615所以X的分布列为：XP812E?X??0??1??2??.515153（3）设一名女生参加活动可获得工时数为X1，一名男生参加活动可获得工时数为X2，6，X2的所有可能取值为6,9，则X1的所有可能取值为3,P(X1?3)?P(X1?6)?P(X2?6)?P(X2?9)?1191，E(X1)?3??6??，222211151，E(X2)?6??9??，2222有X名女生参加活动，则男生有2?X名参加活动.Y?915X??2?X??15?3X，222?13.3所以E?Y??E?15?3X??15?3E?X??15?3?即两人工时之和的期望为13个工时.

21．已知数列?an?的前n项和为Sn，a1?4，Sn是an?1与2n?4的等差中项.(1)求证：?an?1?是等比数列，并求?an?的通项公式；nn?1(2)设bn?4?(?1)tan，若数列?bn?是递增数列，求t的取值范围；(3)设cn?94，且数列?cn?的前n项和为Tn，求证：Tn?.an?1631n【答案】(1)证明见解析，an?3?1?246?(2)??,??197?(3)证明见解析?S1,n?1a?【分析】（1）依题意可得2Sn?an?1?2n?4?n?1?，再根据n?，作差得到S?S,n?2nn?1?an?1?3an?2?n?2?，即可得到an?1?1?3?an?1??n?2?，再由a2?1?3?a1?1?，即可得证，从而求出?an?的通项公式；nn?1nn（2）由（1）可知an?3?1，即可得到bn?4?(?1)t?3?1?，依题意可得bn?1?bn?0，即可得到3?4n?(?1)n?2?t??4?3n?2??0，再分n为奇数、偶数两种情况讨论，参变分离，分别求出参数的取值范围，即可得解；11（3）首先证明cn?1?cn，即可证明当n?2时，Tn?c1?Tn，即可得证.33【详解】（1）证明：QSn是an?1与2n?4的等差中项，?2Sn?an?1?2n?4?n?1?①，于是有2Sn?1?an?2n?6?n?2?②，?①?②2an?an?1?an?2?n?2?，即an?1?3an?2?n?2?，?an?1?1?3?an?1??n?2?，又?2S1?a2?2，a1?4，?a2?10，?a2?1?9，a1?1?3，?a2?1?3?a1?1?，即有an?1?1?3?an?1??n?1?，

又?an?1?0，an?1?1?3?n?1?，an?1??an?1?是以3为首项，3为公比的等比数列，nn所以an?1?3，?an?3?1.n（2）由（1）可知，an?3?1，?bn?4n?(?1)n?1t?3n?1?，bn?1?4n?1?(?1)n?2t?3n?1?1?，nn?2n所以bn?1?bn?3?4?(?1)?t?4?3?2，??Q?bn?是递增数列，?bn?1?bn?0，?3?4n?(?1)n?2?t??4?3n?2??0，3?4，即4?3n?2n当n是奇数时，3?4n?t??4?3n?2??0,t?t?3?3??1?恒成立，4????2????4??4?nn????36???数列?，nn?单调递增，?t?731?????4?????2??????4????4?当n是偶数时，3?4n?t??4?3n?2??0,t????3??数列??nn?4??3??2??1???????4??4??3?4，即4?3n?2nt??3?3??1?恒成立4????2????4??4?nn??24?，?单调递减，?t??19????246?综上，t的取值范围是??,?.?197??c?（3）ncn?1?1，cn3n?311113n?3n?3?3?3?1?11?1?3，??n?1nn3?3?3??3?3??39?3???3n?1即cn?1?cn，3当n?2时，11111Tn?c1?c2?c3???cn?c1?c1?c2???cn?1?c1?Tn?1?c1?Tn.33333239?Tn?c1?，?Tn?，3816当n?1时，T1?c1?399?，综上所述，Tn?.81616

22．为提高学生身体素质，丰富课余生活，营造良好的运动氛围，某校举办了“无\'羽\'伦比”羽毛球比32赛.甲?乙两名选手进行比赛，假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是55相互独立的.(1)若比赛为“三局两胜制”，求比赛仅需两局就结束的概率为多少？(2)若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛的局数的数学期望是多少？nlimqn?0limn?qn?附：当0?q?1时，（此式表示：当无限接近于正无穷大时，无限接近于0）n???n???【答案】(1)(2)50131325【分析】（1）根据三局两胜分类求概率即可；（2）先求分布列，再根据错位相减法求解数学期望即可.13?3??2?【详解】（1）“三局两胜制”，比赛仅需两局就结束的概率为??????.25?5??5?*（2）法一：一个人比另一个人多赢两局时比赛结束，则需要2nn?N局比赛，且从第一局开始到22??第2n?2局每两局甲?乙必需各赢一局，最后两局由一个人取得胜利.所以设需要比赛的局数为X,X可取2,4,6,?,2n?3??2?13P?X?2?????????5??5?2522??12133232????P?X?4??C1????????????255???5??5???25252222?132???3??2???12?13P?X?6???C2???????????????55?????5??5????25?25n?1223?P?X?2n???C12??5?2??5???3?2?2?2??12?n?113????????????.552525??????????2n?1?13121313??12?13?12??????则E(X)??2??4???6???????2n252525??25?25?25???25?x?2??12?026?12??12??lim?1????2????3x?????mn???25?25??25????25?2?1?12?????25?????

?12??12??12??12?设Sn?1????2????3??????n????25??25??25??25?123012n1?①n12?12??12??12??12?则Sn?1????2????3??????n???②25?25??25??25??25?1312?12??12?①-②：Sn?1?????????2525?25??25??12?1???n1225??????n???12?25?1?25??12?n?n??1??25??25??12????Sn???n???13?1?12?25????25??n2n?1?12??n????25?n所以，E?X??262625150Sn????25m?n25131313.252213?3??2?法二：设需要进行的比赛局数的数学期望为E?X?，两局结束比赛的概率为??????，两局25?5??5?还末结束比赛的概率为12，2513??2?E?X2512，25若两局还末结束比赛，说明前两局必定两人各赢一局，此时两局之后的比赛可以看成一个全新的比赛，其期望也为E?X?，所以总的期望为E?X??2?解得E?X?????50.13